Волновая функция — это числовое значение в каждой точке пространства, которое дает вероятность того, что частица обнаружится в данном месте. Быстрота, с которой волновая функция изменяется от точки к точке, говорит нам о том, насколько вероятны различные скорости частицы. Некоторые волновые функции имеют четкий пик в определенной точке пространства. В таких случаях существует лишь небольшая неопределенность в положении частицы. Но из диаграммы видно, что в этом случае волновая функция быстро меняется в окрестности данной точки — поднимается с одной стороны и падает с другой. Это означает, что распределение вероятности для скорости является очень широким. Иными словами, велика неопределенность скорости. Рассмотрим, с другой стороны, непрерывную череду идущих друг за другом волн. Теперь велика неопределенность положения, но мала неопределенность скорости. Так что описание частицы при помощи волновой функции не имеет хорошо определенного положения или скорости. Оно удовлетворяет принципу неопределенности. Теперь понятно, что волновая функция — это все, что поддается точному определению. Мы не можем даже предположить, что частица имеет положение и скорость, которые известны Богу, но скрыты от нас. Подобные теории со «скрытыми переменными» дают предсказания, которые не согласуются с наблюдениями. Даже Бог ограничен принципом неопределенности и не может знать сразу и положения, и скорости — только волновую функцию.

Скорость, с которой волновая функция изменяется во времени, задается так называемым уравнением Шрёдингера (рис 4.5).

Эволюция во времени волновой функции Ψ определяется оператором Гамильтона Н, который связан с энергией рассматриваемой системы.

Зная волновую функцию в один момент времени, можно использовать уравнение Шрёдингера, чтобы вычислить ее в любой другой момент — прошлый или будущий. Таким образом, детерминизм сохраняется в квантовой теории, но в меньшем объеме. Вместо того чтобы предсказать сразу и положение, и скорость, мы можем предсказать только волновую функцию. Это позволяет нам точно предсказывать либо положения, либо скорости, но не то и другое. Так что в квантовой теории возможность делать точные предсказания ровно вдвое меньше, чем в классической лапласовской картине мира. Тем не менее в этом ограниченном смысле можно по-прежнему утверждать, что детерминизм в ней сохраняется.

Между тем использование уравнения Шрёдингера для отслеживания изменений волновой функции во времени (то есть для предсказания того, какой она станет в будущем) неявно предполагает, что время всегда и везде течет равномерно. Это, конечно, верно для ньютоновской физики. В ней время считалось абсолютным, и это означало, что каждое событие в истории Вселенной помечено числом, называемым моментом времени, и что последовательности временных меток непрерывно тянутся из бесконечного прошлого в бесконечное будущее. Это можно назвать общепринятым представлением о времени, которое лежит в основе всех суждений у большинства людей и даже у большинства физиков. Но в 1905 г., как мы уже знаем, концепция абсолютного времени была ниспровергнута специальной теорией относительности, в которой время не было больше независимом, самодостаточной величиной, а стало лишь одним из направлений в четырехмерном континууме, называемом пространством-временем. В специальной теории относительности различные наблюдатели движутся сквозь пространство-время с разными скоростями и в разных направлениях. У каждого наблюдателя есть своя собственная мера времени вдоль пути, который он проходит, и разные наблюдатели измеряют разные интервалы времени между одними и теми же событиями (рис. 4.6).

В плоском пространстве-времени специальной теории относительности наблюдатели, движущиеся с разной скоростью, будут по-разному измерять время, но мы можем использовать уравнение Шрёдингера в любом из этих времен для предсказания того, что произойдет с волновой функцией в будущем.

Итак, в специальной теории относительности нет абсолютного времени, которое можно использовать для пометки событий. Но вместе с тем пространство специальной теории относительности плоское. Это означает, что в ней время, измеряемое любым свободно движущимся наблюдателем, равномерно растет от минус бесконечности в прошлом до плюс бесконечности в будущем. Любую из этих временных шкал можно использовать в уравнении Шрёдингера, описывающем эволюцию волновой функции. Так что в специальной теории относительности по-прежнему в силе квантовая версия детерминизма.

Ситуация меняется в общей теории относительности, где пространство-время не плоское, а искривленное и деформируется под воздействием находящихся в нем материи и энергии. В нашей Солнечной системе кривизна пространства-времени столь незначительна, что не создает помех привычному для нас представлению о времени. В этом случае мы можем продолжать использовать время в уравнении Шрёдингера для определения детерминированной эволюции волновой функции. Однако, позволив пространству-времени искривляться, мы тем самым открываем двери перед возможностью появления такой структуры, в которой не для всякого наблюдателя время будет плавно увеличиваться, что требуется для осмысленного его измерения. Например, представим себе пространство-время как вертикальный цилиндр (рис. 4.7).

Ход времени неизбежно останавливался бы в точках стагнации, где ручка примыкает к основному цилиндру. В этих точках время не будет увеличиваться ни в каком направлении. Поэтому невозможно использовать уравнение Шрёдингера, чтобы предсказать, какой станет волновая функция в будущем.

По высоте цилиндра будет измеряться время, которое увеличивается для каждого наблюдателя и течет от минус бесконечности к плюс бесконечности. Но вообразите теперь, что пространство-время подобно цилиндру с ручкой (или «кротовой норой»), которая сначала отходит от него, а потом, изогнувшись, присоединяется в другой точке. Теперь любая шкала времени неизбежно будет иметь точки стагнации, в которых ручка примыкает к цилиндру и где время останавливается. В этих точках для любого наблюдателя время не будет расти. В таком пространстве-времени нельзя использовать уравнение Шрёдингера для предсказания детерминированной эволюции волновой функции. Проследите за кротовой норой: вы никогда не знаете, что из нее может появиться.

Именно из-за черных дыр мы считаем, что время увеличивается не для каждого наблюдателя. Первая дискуссия о черных дырах возникла в 1783 г. Бывший кембриджский профессор Джон Мичелл представил следующее рассуждение. Если некто выстрелит пробной частицей, например пушечным ядром, вертикально вверх, подъем будет замедляться тяготением и в конце концов частица прекратит двигаться вверх и станет падать (рис. 4.8).

Однако если начальная, направленная вверх скорость превышает критическое значение, называемое скоростью убегания, гравитации никогда не удастся остановить частицу и вернуть ее обратно. Для Земли скорость убегания составляет около 11,2 км/с, для Солнца — около 618 км/с.

Обе эти скорости убегания много больше скорости реального пушечного ядра, но они малы по сравнению со скоростью света, которая составляет 300 ООО км/с. Так что свет уходит с Земли и с Солнца без особых трудностей. Однако Мичелл рассудил, что должны быть звезды, которые намного массивнее Солнца и у которых скорости убегания больше скорости света (рис. 4.9).