R_s = 2MG/c²

4. Наконец, надо определить прирост площади горизонта. Для этого нужна формула площади сферы:

Площадь горизонта = 4πR_s².

Начнем с энергии однобитного фотона. Как я уже объяснял, фотон должен иметь достаточно большую длину волны, чтобы его положение внутри черной дыры было неопределенным. Это значит, что длина волны должна быть R_s. Согласно Эйнштейну, фотон с длиной волны R_s имеет энергию E, определяемую следующей формулой:[72]

Е = hc/R_s.

В этой формуле h — постоянная Планка, а с — скорость света. Из нее следует, что сбрасывание в черную дыру одного бита информации добавляет ей энергию величиной hc/R_s.

Следующий шаг — это расчет изменения массы черной дыры. Для пересчета энергии в массу ее надо разделить на с², а значит, масса черной дыры возрастет на величину h/R_sc:

Изменение массы = h/R_sc.

Подставим в эту формулу числа, чтобы увидеть, сколько же добавит один бит к массе черной дыры, имеющей массу Солнца.

Постоянная Планка, h = 6,6x10^-34

Шварцшильдовский радиус черной дыры, R_s = 3000 м

Скорость света, с = 3х10⁸

Гравитационная постоянная, G = 6,7х10^-11

Таким образом, один бит информации добавляет к черной дыре солнечной массы поразительно малую величину:

Прирост массы = 10^-45 килограмма.

И все же, как говорится, «это больше, чем ничто»[73].

Перейдем к третьему шагу: используем связь между массой и радиусом для вычисления изменения R_s. В алгебраической форме ответ будет таким:

Прирост R_s = 2hG / (R_s с³).

У черной дыры солнечной массы R_s составляет около 3000 м. Если подставить все числа, то окажется, что радиус увеличится на 10^-72 м. Это не только безмерно меньше протона, но также безмерно меньше планковской длины (10^-35 м). При таком малом изменении непонятно, зачем мы вообще это вычисляем, но было бы ошибкой пренебречь этой малостью.

Последний шаг состоит в определении того, насколько изменится площадь горизонта. Для черной дыры солнечной массы прирост площади горизонта составляет около 10^-70 квадратного метра. Это очень малая величина, но опять, «это больше, чем ничто». И не просто больше, чем ничто, а нечто совершенно особое: 10^-70 м², оказывается, как раз равняется одной квадратной планковской единице.

Это случайное совпадение? Что получится, если взять черную дыру земной массы (размером с клюквину) или черную дыру в миллиард раз массивнее Солнца? Попробуйте — с числами или с формулами. Каков бы ни был исходный размер черной дыры, всегда выполняется правило:

Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу.

Каким-то образом в принципах квантовой механики и общей теории относительности скрыта загадочная связь между невидимыми битами информации и кусочками площади планковского размера.

Когда я объяснил все это на своем подготовительном курсе по физике в Стэнфорде, кто-то на заднем ряду протяжно присвистнул и произнес: «Кру-у-уто». Это действительно круто, а еще глубоко и, вероятно, содержит ключ к загадке квантовой гравитации.

Теперь представьте формирование черной дыры бит за битом, так же как можно наполнять ванну атом за атомом. Каждый раз при добавлении бита информации площадь горизонта прирастает на одну планковскую единицу. К тому времени, когда черная дыра будет готова, площадь ее горизонта окажется равной общему числу битов скрытой в ней информации. Так что главное достижение Бекенштейна можно суммировать тезисом:

Энтропия черной дыры, измеренная в битах, пропорциональна площади ее горизонта, измеренной в планковских единицах.

Или, еще более кратко:

Информация равна площади.

Это выглядит почти так, как если бы горизонт был плотно покрыт несжимаемыми битами информации; сходным образом можно плотно покрывать столешницу монетами.

При добавлении новых монет площадь, занятая всеми монетами вместе, будет расти. Биты, монеты — принцип один и тот же.

Единственная проблема с этой иллюстраций заключается в том, что на горизонте нет монет. Будь они там, Алиса обнаружила бы их, падая в черную дыру. Согласно общей теории относительности, для свободно падающей Алисы горизонт — это невидимая точка невозврата. Сама возможность для нее встретить что-то вроде стола с монетами прямо противоречит эйнштейновскому принципу эквивалентности.

Этот конфликт — очевидная несовместимость между представлением о горизонте как о поверхности, плотно заполненной материальными битами, и как о точке невозврата — и стал казус белли для Битвы при черной дыре.

Другой момент, озадачивающий физиков с момента открытия Бекенштейна: почему энтропия пропорциональна площади горизонта, а не внутреннему объему черной дыры? Кажется, что внутри пропадает огромное количество места. Фактически черная дыра ужасно похожа на Птолемееву библиотеку. Мы еще вернемся к этому вопросу в главе 18, где увидим, что весь мир — это голограмма.

Хотя Бекенштейн пришел к правильному выводу — энтропия черной дыры действительно пропорциональна площади, его доказательство не было идеально строгим, и он об этом знал. Он не говорил, что энтропия равна площади, измеренной в планковских единицах. Из-за ряда неопределенностей в его выкладках он мог лишь утверждать, что энтропия черной дыры примерно равна (или пропорциональна) ее площади. В физике слово «примерно» — очень ненадежное. Означает оно удвоенную площадь или четверть площади? Хотя доказательство Бекенштейна и было блестящим, оно не позволяло точно определить коэффициент пропорциональности.

В следующей главе мы увидим, как открытие Бекенштейном энтропии черных дыр привело Стивена Хокинга к величайшему озарению: черные дыры обладают не только энтропией, как совершенно верно догадался Бекенштейн, но у них также есть и температура. Это не бесконечно холодные, мертвые объекты, какими физики их себе представляли. Черные дыры высвечивают свою внутреннюю теплоту, но в итоге эта теплота приводит к их гибели.

9

Черный свет

Зимний ветер отвратителен в больших городах. Он свищет вдоль длинных улиц между плоскими фасадами домов, завихряется вокруг углов, безжалостно бичуя несчастных пешеходов. В один ненастный день в 1974 году я отправился на длинную пробежку по обледенелым улицам Манхэттена. Пар от дыхания оседал сосульками на моих длинных волосах. Пробежав пятнадцать миль, я совершенно выдохся, но до теплого офиса, к сожалению, оставалось еще две мили. Без кошелька у меня не было даже двадцати центов, чтобы сесть на метро. Но тут мне улыбнулось счастье. Когда я сошел с тротуара где-то в районе Дикманстрит, рядом остановился автомобиль, и из него высунулась голова Оге Петерсена. Прелестный датчанин Оге, до того как перебраться в Соединенные Штаты, был ассистентом Нильса Бора в Копенгагене. Он обожал квантовую механику и жил и дышал боровской философией.

В машине Оге спросил, не иду ли я на лекцию Денниса Скиамы в Белферской школе? Я и не думал. На самом деле я ничего не знал о Скиаме и его лекции. Все мои мысли были о тарелке супа в университетском кафетерии. Оге познакомился со Скиамой в Англии и сказал, что это чрезвычайно забавный англичанин из Кембриджского университета, от которого можно ждать массы отличных шуток. Оге считал, что лекция Скиамы будет иметь отношение к черным дырам — об одной работе, выполненной его студентом, гудит весь Кембридж. Я пообещал Оге, что появлюсь.