Если признать справедливым сказанное выше, то очевидно, что арифметическое мышление отнюдь не является исключением из общего правила. Множество (или совокупность) постигается лишь тогда, когда его общее значение остается неизменным вне зависимости от изменений, внесенных в отношение между элементами. Операция внутри одного и того же множества, которые называются «группой перестановок», доказывает как раз возможность совершения любой перестановки элементов при сохранении инвариантности общей «мощности» множества. Число также может быть постигнуто интеллектом лишь в той мере, в какой оно остается тождественным самому себе, независимо от размещения составляющих его единиц: именно это свойство и называется «инвариантностью» числа. Такая непрерывная величина, как длина или объем, может быть использована в деятельности разума лишь в той мере, в какой она образует постоянное целое, независимо от возможных комбинаций в размещении ее частей. Короче говоря, идет ли речь о непрерывных или дискретных величинах, о воспринимаемых количественных аспектах чувственного мира или о множествах и числах, постигаемых мышлением, идет ли речь об элементарном контакте числовой деятельности с экспериментом или о самой чистой аксиоматизации любого наглядного содержания, всегда и всюду сохранение чего-либо постулируется разумом в качестве необходимого условия всякого математического мышления.

С психологической же точки зрения потребность в сохранении составляет разновидность функционального априоризма мышления, означающего, что по мере развития мышления или исторического взаимодействия устанавливающегося между внутренними факторами его созревания и внешними условиями опыта, эта потребность выступает как необходимая.

Однако нужно ли отсюда делать вывод о том, что арифметические понятия прогрессивно структурируются под влиянием развития этих требований сохранения, или же следует считать, что сохранение предшествует любой числовой и даже количественной организации и составляет не только функцию, но также и априорную структуру, особую разновидность врожденной идеи, с необходимостью возникающую с первых актов интеллекта и первых контактов с опытом? Психогенетический анализ должен решить этот вопрос, и мы попытаемся доказать, что лишь первое решение соответствует фактам. (С. 243-244)

История и состояние проблемы

В XIX веке, пока Буль, Де-Морган, Джевонс и другие не создали алгебру логики и пока экспериментальная психология не стала наукой, конфликта между логикой и психологией не существовало. Классическая логика верила, что она в состоянии раскрыть действительную структуру процессов мышления, общие структуры, лежащие в основе внешнего мира, равно как и нормативные законы разума. Классическая философская психология, в свою очередь, считала, что законы логики и законы этики находят выражение в умственном функционировании каждого нормального индивида. В таких условиях логика и психология не имели оснований для разногласий.

Но с развитием молодой науки экспериментальной психологии логические факторы были исключены из рассмотрения — интеллект начали объяснять через чувства, образы, ассоциации и другие механизмы. Это вызвало совершенно необоснованную реакцию: так, некоторые представители Вюрцбургской школы психологии мышления при анализе суждения стали вводить логические отношения, чтобы дополнить ими действие психологических факторов.

Логика, таким образом, была использована для причинного объяснения фактов, которые сами по себе являлись психологическими. Такому неправильному употреблению логики в психологии было присвоено имя «логицизм», и если психологи в целом не доверяют логике, то это объясняется главным образом их страхом впасть в ошибки логицизма. Большинство современных психологов стараются объяснить интеллект без какого-либо обращения к логической теории.

В то время как психологи старались отделить свою науку от логики, основатели современной логики, или «логистики», по аналогичным причинам ратовали за отделение последней от психологии. Правда, Буль — основатель алгебры, носящей его имя, — еще более верил, что описывает «законы мысли», но это объяснялось тем, что он рассматривал их природу как по сути дела алгебраическую. С развитием же дедуктивной строгости и формального характера логических систем одной из важнейших задач последующих логиков стало освобождение логики от апелляции к интуиции, т.е. от какого бы то ни было обращения к психологическим факторам. Наличие обращения к таким факторам в логике было названо «психологизмом», и этот термин употреблялся логиками при ссылке на недостаточно формализованные логические теории, точно так же, как и психологи употребляли термин «логицизм», ссылаясь на психологические теории, недостаточно проверенные опытом.

Большинство современных логиков не касается более вопроса о том, имеют ли законы и структуры логики какое-либо отношение к психологическим структурам. В начале нашего века один французский последователь Бертрана Рассела даже утверждал, что понятие операции, по существу, антропоморфно, но фактически логические операции чисто формальны и не имеют какого-либо сходства с психологическими операциями. Как только логика достигла в своем развитии завершенной формальной строгости, логики перестали интересоваться изучением актуальных мыслительных процессов. П. Бернайс, например, полагал — и с точки зрения полностью формализированной аксиоматической логики он несомненно прав, — что логические отношения строго применимы только к математической дедукции, в то время как любая другая форма мышления имеет просто аппроксимирующий характер.

Когда мы стремимся выявить сущности, соответствующие логическим структурам, то обнаруживаем, что в ходе постепенной формализации логики были даны четыре возможных объяснения по этому поводу. Каждое из них следует кратко рассмотреть с точки зрения его отношения к психологии.

Первое объяснение — платонизм, свойственный ранним работам Б. Рассела и А.Уайтхеда, стимулировавший работу Г. Шольца и остающийся осознанным или неосознанным идеалом большинства логиков. Согласно этому взгляду, логика соотносится с системой универсалий, существующих независимо от опыта и непсихологических по своему происхождению. В таком случае следует объяснить, как разум приходит к открытию таких универсалий. Платоническая гипотеза только отодвигает проблему и не приближает нас к ее решению.

Второе объяснение — конвенционализм, полагающий, что существование логических сущностей и их законы определяются системой соглашений или общепризнанных правил. Однако такое объяснение приводит нас к новой проблеме: за счет чего эти соглашения оказываются столь плодотворными и удивительно эффективными в своем применении?

В силу этого конвенционализм уступает место концепции правильно построенного языка (well-formed language). Это третье объяснение выдвинуто Венским кружком, испытавшим сильное влияние логического эмпиризма. В этом объяснении различают эмпирические истины, или нетавтологические отношения, и тавтологии, или чисто синтаксические отношения, которые с помощью соответствующей семантики могут быть использованы для выражения эмпирических истин. Такая теория имеет несомненное психологическое значение; ее можно эмпирически проверить. Однако применительно к психологии она вызывает ряд затруднений.

Во-первых, мы не можем говорить о чистом опыте, или «эмпирических истинах», не зависящих от логических отношений. Другими словами, опыт не может быть интерпретирован в абстракции от понятийного и логического аппарата, который и делает возможной такую интерпретацию. В наших экспериментах с Б. Инельдер маленьких детей просили ответить на вопрос: когда поверхность воды в наклонной стеклянной трубке горизонтальна и когда пет? Мы обнаружили, что дети не воспринимают «горизонтальность» до тех пор, пока они не окажутся способными построить каркас пространственных отношений. Для построения такого каркаса они нуждаются в геометрических операциях, а при построении этих операций необходимо употребление логических операций.