21. На попытках Швейкарта и Тауринуса, тоже современников Гаусса, мы останавливаться не будем. Работы Лобачевского были первыми, которые стали известны в широких кругах и оказали влияние ( 1829). Очень скоро вслед за этим обнародовал свою работу младший Бояи (1833), который во всех существенных пунктах сходился с Лобачевским, отличаясь только формой выводов. Судя по актам, теперь легко и в обилии доступным благодаря прекрасным изданиям Энгеля и Стаккеля, можно предположить, что и Лобачевский предпринял свои исследования в надежде, что отрицание аксиомы Евклида приведет к противоречиям. Но когда это ожидание не оправдалось, у него хватило интеллектуального мужества сделать отсюда все выводы. Лобачевский излагает свои выводы в синтетической форме. Но мы можем представить себе те общие аналитические рассуждения, которые, по всей вероятности, подготовили построение его геометрии...

24. Итак, мы видим, что, допустив сходимость параллельных прямых, мы можем развить систему геометрии, свободную от внутренних противоречий. Правда, это допущение не подтверждается ни одним наблюдением доступных нам геометрических фактов и в такой мере противоречит нашему геометрическому инстинкту, что делает вполне понятным отношение старых исследователей, как Саккери и Ламберт. Наше представление, руководимое созерцанием и привычными евклидовскими понятиями, может только частями и постепенно приспособляться к требованиям геометрии Лобачевского. Мы должны при этом руководствоваться больше геометрическими понятиями, чем чувственными образами доступной нам небольшой пространственной области. Должно, однако, признать, что математические количественные понятия, при помощи которых мы самодеятельно изображаем факты геометрического опыта, не абсолютно соответствуют этим последним. Как и физические теории, геометрическая теория более проста и точна. чем то, собственно, может быть доказано опытом с его случайными уклонениями. Разные понятия могут в области, доступной наблюдению, одинаково точно выражать факты. Таким образом, должно отличать факты от умственных образов, которые они возбудили. Последние, т.е. понятия, должны быть лишь согласованы с наблюдением и, кроме того, логически не противоречить друг другу. Эти два требования могут быть, однако, осуществлены многообразно, и отсюда различные системы геометрий.

25. Из работ Лобачевского видно, что они представляют результат долголетнего и напряженного умственного труда, и можно предполагать, что он сначала должен был общими рассуждениями и аналитическими вычислениями выработать себе общую картину своей системы, прежде чем был в состоянии изложить в синтетической форме. Привлекательной эту тяжеловесную евклидовскую форму никак нельзя назвать, и, может быть, именно этой форме главным образом надо приписать то, что значение работ Лобачевского и Я. Бояи так поздно получило всеобщее признание.

26. Лобачевский развил только следствия, вытекающие из видоизменения пятого требования Евклида. Если же отвергнуть положение Евклида, что «две прямые не ограничивают пространства», то приходят к некоторой противоположности геометрии Лобачевского. В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каждая пара которых образует два сферических двуугольника. Здесь, следовательно, совсем нет параллелей. Возможность подобной геометрии в трехмерном пространстве (с положительной мерой кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространства. Гельмгольц, который развивал далее именно в физическом смысле исследования Римана, напротив, в первой своей работе оставил без внимания пространство Лобачевского, т.е. пространство с отрицательной мерой кривизны (с мнимым параметром к). Действительно, рассмотрение этого случая ближе математику, чем физику. Гельмгольц обсуждает здесь только случай Евклида с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с положительной мерой кривизны.

27. Итак, факты пространственного наблюдения мы можем изображать со всей доступной нам точностью как при помощи геометрии Евклида, так и при помощи геометрии Лобачевского и Римана, если только в двух последних случаях примем параметр к достаточно большим. До сих пор физики не имели оснований отказаться от допущения геометрии Евклида, т.е. k=∞. По оказавшейся целесообразною привычке они придерживаются простейших предположений до тех пор, пока факты не принудят их к усложнению или видоизменению этих предположений. Эго соответствует и точке зрения всех выдающихся математиков в отношении прикладной геометрии. Поскольку, однако, взгляды натуралистов и математиков в этих вопросах различны, объясняется это тем, что для первых физически данное имеет величайшую важность, геометрия же есть только привычное средство для его исследования, между тем как для последних именно эти вопросы представляют величайший специальный и в особенности гносеологический интерес. Но раз математик попытался изменить ближайшие и простейшие предположения, которые внушал ему геометрический опыт, и раз эта попытка увенчалась для него расширением понимания, то, конечно, такие попытки должны были развиваться и далее, в интересе уже чисто математическом. Были развиты системы геометрии, аналогичные привычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще более свободных, еще более общих, для любого числа измерений, не претендующие быть чем-либо, кроме научных экспериментов в мыслях, без притязаний на применение к чувственной действительности. Достаточно указать здесь на движение вперед математики в работах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко какой-нибудь мыслитель так уходил в свои теоретические построения и настолько отрывался от действительности, чтобы думать, что данное нам чувственное пространство может иметь больше трех измерений, или изображать это пространство при помощи геометрии, значительно уклоняющейся от евклидовской. Гауссу, Лобачевскому, Я.Бояи, Риману это было вполне ясно, и они, во всяком случае, не ответственны за те несуразные мнения, которые были высказаны в этой области впоследствии.

28. Не во вкусе физика делать предположения относительно свойств геометрических образов в бесконечности, ему недоступной, и затем сравнивать эти последние с ближайшим опытом и к нему их приспособлять. Он предпочитает (как это сделал в своей работе Штольц) рассматривать как источник своих понятий непосредственно данное и значение этих понятий затем распространяет и на область недоступного ему бесконечного до тех пор, пока не увидит себя вынужденным их изменить. Но и он должен быть весьма благодарен за выяснение того факта, что существует несколько удовлетворяющих делу геометрий, что можно справиться с делом и при помощи конечного пространства и т.д., одним словом, за устранение традиционных ограничений мышления. Если бы мы жили на поверхности планеты с мутной непрозрачной атмосферой и, обладая только наугольником и измерительной цепью, приступили бы к измерениям исходя из предположения плоской поверхности, то нарастание нарушений правила относительно суммы углов в случае больших треугольников скоро заставило бы нас заменить нашу планиметрию сферометрией. Возможности аналогичных данных опыта в трехмерном пространстве физик в принципе не может исключить, хотя явления, вынуждающие к допущению геометрии Лобачевского или Римана, столь чудовищно противоположны всему, к чему мы до сих пор привыкли, что никто не считает наступления их вероятным.

29. Вопрос, представляет ли данный физический объект прямую линию или дугу круга, неправилен по форме своей постановки. Натянутая нить или световой луч не есть, конечно, ни то ни другое. Вопрос может быть только о том, реагирует ли наш объект пространственно так, что он лучше соответствует одному, чем другому, понятию и соответствует ли он вообще с достаточной и достижимой точностью одному из геометрических понятий. Если этого нет, то возникает вопрос, можем ли мы практически устранить или по меньшей мере мысленно определить и учесть отклонение от прямой или круга, т.е. можем ли мы исправить результат измерения. Но при практическом измерении мы всегда делаем только одно: сравниваем физические объекты. Если бы оказалось, что при прямом исследовании эти последние соответствуют геометрическим понятиям со всей возможной точностью, но косвенные результаты измерения больше отклоняются от теории, чем то допустимо в пределах возможных ошибок, то мы действительно были бы вынуждены изменить наши физически-метрические понятия. Физик однако, будет прав, если он подождет наступления этого положения, между тем как перед математиком с его рассуждениями поле действий всегда свободно.