Небесполезно было бы сделать историческое отступление и посмотреть, как появился это непериодический набор (см. Грюнбаум, Шепард [1987]). В 1961 году американский логик китайского происхождения Хао Ванг поставил вопрос о существовании процедуры для решения задачи замощения, или, иными словами, о нахождении алгоритма, который позволил бы выяснить возможность замощения всей плоскости с помощью конечного набора многоугольников различной формы![89] Ему удалось показать, что такая процедура могла бы существовать, если бы получилось доказать следующую гипотезу: любой конечный набор разных «плиток», с помощью которого можно каким-нибудь способом выполнить замощение плоскости, пригоден также и для ее периодического замощения. Мне думается, в то время интуитивно казалось, что не может существовать набор «плиток», нарушающий это условие (т. е. не может существовать «непериодический» набор плиток). Однако в 1966 году, следуя в указанном Хао Вангом направлении, Роберт Бергер смог показать, что, на самом деле, процедуры решения задачи покрытия не существует: эта задача также принадлежит области нерекурсивной математики![90]

С учетом доказанного Хао Вангом это означало, что хотя бы один непериодический набор «плиток» должен существовать; и Бергер смог построить первый такой набор. Однако, из-за сложности выбранного им способа рассуждений, его набор состоял из ненормально большого числа «плиток» разной формы — изначально их насчитывалось 20 426. Использовав некоторый дополнительный искусный прием, Бергеру удалось сократить это число до 104. А в 1971 году Рафаэль Робинсон довел его до шести, которые изображены на рис. 4.10 выше.

Другой непериодический набор из шести «плиток» представлен на рис. 4.11. Это множество я придумал сам в 1973 году, следуя в своих рассуждениях несколько отличным путем. (Я вернусь к этой теме в главе 10 «Плиточные структуры и квазикристаллы», где на рис. 10.3, изображен массив, покрытый такими «плитками».)

После того, как, я познакомился с «шестиплиточным» набором Робинсона, я начал думать о том, как сократить их число; и путем различных манипуляций с разрезаниями и склеиванием я, в конечном счете, смог довести количество «плиток» до двух. Две альтернативные схемы представлены на рис. 4.12.

Узоры, которые получаются в результате полного замощения и имеющие с необходимостью непериодическую структуру, обладают рядом замечательных свойств, в том числе — кажущейся невозможной с точки зрения кристаллографии квазипериодической симметрией с осью пятого порядка. К этому вопросу я вернусь позднее.

Вероятно, это покажется удивительным, что такая очевидно «тривиальная» область математики, как замощение плоскости конгруэнтными «плитками», которая выглядит не более серьезно, чем «детская игра», на самом деле является частью нерекурсивной математики. В действительности эта область содержит множество трудных и не решенных пока задач. Пока неизвестно, например, есть ли единственная «плитка» такой формы, которая бы покрывала всю плоскость непериодически.

Задача замощения, в том виде, как она исследовалась Вангом, Бергером и Робинсоном, формулируется для «плиток», построенных на квадратах. Я же здесь допускаю рассмотрение многоугольников произвольной формы, и поэтому необходимо наличие какого-нибудь способа изображения каждой из «плиток», поддающегося адекватному вычислению. Одним из таких путей могло бы быть представление вершин «плиток» точками плоскости Аргана, которые превосходно задаются алгебраическими числами.

Похоже ли множество Мандельброта на нерекурсивную математику?

Давайте теперь вернемся к нашей предшествующей дискуссии о множестве Мандельброта. Я буду для наглядности предполагать, что это множество является в некотором смысле нерекурсивным. Поскольку его дополнение рекурсивно нумеруемо, то, как следствие, само оно таковым быть не может. Я думаю, что форма множества Мандельброта может кое-чему научить нас о том, что касается природы нерекурсивных множеств и нерекурсивной математики.

Посмотрим еще раз на рис. 3.2, с которым мы встретились в третьей главе («страна Тор'Блед-Нам»). Заметьте, что большая часть множества вписывается в сердцевидную фигуру, которую я обозначил на рис. 4.13 через А (ниже). Эта фигура называется кардиоида и ее внутренняя область может быть определена математически как множество точек с плоскости Аргана, которые удовлетворяют равенству

с = z- z²,

где z — комплексное число, чье расстояние до центра координат меньше 1/2. Это множество является, с очевидностью, рекурсивно нумеруемым в смысле существования алгоритма, который для произвольной точки внутренней области фигуры умеет подтверждать ее принадлежность этой самой области. Этот алгоритм легко получается из указанной выше формулы.

Теперь рассмотрим дисковидную фигуру слева от основной кардиоиды (область В на рис. 4.13).

Ее внутренняя часть представляет собой множество точек

с = z — 1,

где z — удалено от начала координат на расстояние меньше 1/4. Эта область, несомненно, является внутренностью диска, так как представляет собой множество точек, лежащих внутри правильной окружности. И, опять же, эта область является рекурсивно нумеруемой в принятом нами смысле. А как насчет других «бородавок» на кардиоиде? Возьмем две следующие по величине «бородавки». Это практически круглые «кляксы», располагающиеся примерно наверху и внизу кардиоиды на рис. 3.2 и которые на рис. 4.13 обозначены через С₁ и С₂. Они могут быть описаны как множество

c³ + 2с² + (1 — z)c + (1 — z)² = 0,

где z изменяется в пределах круга радиуса 1/8 с центром в начале координат. Фактически, это уравнение дает нам не только обе эти «кляксы», но и «дочернюю» фигуру кардиоидной формы (основную часть рис. 3.1), которая находится слева на рис. 3.2 и которая обозначена как С₃ на рис. 4.13. И, аналогично, эти области (как порознь, так и вместе) составляют рекурсивно нумеруемые множества благодаря существованию вышеприведенной формулы.

Несмотря на предположение о нерекурсивности множества Мандельброта, сделанное мной вначале, мы смогли разобраться с его наиболее значительными частями с помощью вполне определенного и достаточно простого алгоритма. Кажется, что такой процесс можно продолжать и дальше. Все наиболее очевидные области множества — и, конечно же, подавляющая часть множества (если не все оно целиком) в процентном выражении — поддаются алгоритмическому анализу. Если, как я предполагаю, все множество все-таки нерекурсивно, то те области, которые недоступны для действия алгоритма, должны быть с необходимостью очень «тонкими» и почти «невидимыми». Более того: когда мы найдем такую область, то вероятнее всего мы смогли бы понять, как нам изменить наш алгоритм, чтобы эта область также оказалась в зоне его действия. Однако, после этого найдутся другие области (если мое предположение о нерекурсивности справедливо), еще более труднодоступные из-за тонкости и сложности своей структуры, перед которыми будет бессилен даже наш усовершенствованный алгоритм. И вновь «волшебство» интуиции, искусства и техники, наверное, позволит нам вычленить эту область; но другие в очередной раз ускользнут от нас; и так будет повторяться снова и снова.