Разгадать, каковы это были поручения, нетрудно: это карантинный госпиталь в Ливорно, устроенный великим герцогом Леопольдом; план госпиталя, порядок содержания и его администрирование; это план, устройство, работа порта Террачино, считавшегося в то время самым лучшим и благоустроенным в Европе. Об этих объектах Дашкова написала так, словно она сама выбрала эти объекты для императрицы, потому что знает, что Екатерина вынуждена постоянно воевать, что ставит «нас в соприкосновение с южными народами и, следовательно, с эпидемическими болезнями». Екатерина II помнила эпидемию чумы и связанный с ней бунт в Москве, куда для борьбы с чумой и бунтовщиками был ею послан Григорий Орлов, вынужденный тогда превратить свой дом в карантинный госпиталь. Наличие такого госпиталя, где всё продумано и предусмотрено, было очень важно и для Москвы, и для Петербурга, Что касается плана и подробного отчёта о работе лучшего в Европе порта, то Екатерине II это было необходимо вдвойне, потому что в это время Потёмкин строил порты на Чёрном море и для него чертежи и всё расчёты представляли огромную ценность, а для Екатерины II ознакомление с документами о порте Террачино было важно, чтобы читать отчёты Потёмкина о строительстве портов в Крыму со знанием дела. Чертежи порта Террачино делал сын Дашковой, которая постоянно показывала перед императрицей его знания, его умения после окончания воспитания и образования по системе, разработанной лично Дашковой, чтобы объявить, что её сын может быть востребован как специалист и в России, и за рубежом. При этом в письмах к императрице тщеславная Дашкова демонстрировала и свои педагогические способности, и преимущества её системы образования, потому что Екатерина открыла в эти годы Воспитательный дом (Смольный институт) для благородных девиц, систему воспитания и образования для которого разработала сама императрица при участии Бецкого, а Дашкову к этой работе не привлекла.
Путешествуя по Европе с благословения Екатерины II, как её статс-дама, её фаворитка, а не так, как в прошлое путешествие, какая-то княгиня Михалкова «в черном платье и такой же шали, с самой скромной причёской», Дашкова была принята государями разных стран и княжеств. В Берлине король Пруссии Фридрих II, который в эти годы вместе с российской императрицей и австрийским императором Иосифом II занимался разделом Польши, принял её без какой-либо задержки. В Париже королева Мария-Антуанетта встретилась с Дашковой в доме своей ближайшей подруги-фаворитки Жюли Полиньяк (что, заметим, к сожалению, не делало особой чести Дашковой, потому что не только Париж — вся Франция уже знала, какие оргии проходят в этом доме). В Риме, в Ватикане, Папа Пий VI, которого Дашкова встретила в соборе Св. Петра, удостоил её беседы и даже предложил сообщить ему о её отъезде в Неаполь по восстановленной им старой дороге, чтобы приготовить ей лошадей, «потому что там еще нет ни почты, ни других необходимых удобств».
В Неаполе Дашкова была представлена королю, и он принял её настолько ласково и гостеприимно, что её сын мог иногда участвовать в королевской охоте. В Вене император Иосиф II, несмотря на недомогание, дал ей аудиенцию. В Ливорно герцог Леопольд предоставил ей полную возможность снять план и получить документацию карантинного госпиталя. В Лондоне Екатерину Романовну Дашкову тоже ждал благожелательный приём, потому что было много людей высокого ранга, знакомых с семейством Воронцовых. Её старший и любимый брат Александр Романович Воронцов в течение двух лет (1761–1763) был в Лондоне полномочным представителем России.
Екатерина Романовна искала и покупала для своей коллекции особенно ценные минералы. И нашла продававшуюся недорого коллекцию минералов, которую с её подачи купила Екатерина II для основанного ею в 1764 году Императорского Эрмитажа.
Однажды Дашкова в подземелье, куда её привели в поисках минералов, случайно наткнулась, даже ушибив ногу, на два больших полудрагоценных камня. Она купила их и заказала сделать из них декоративные столики в подарок Екатерине. Но Екатерина такой дорогой подарок не приняла. Дашкова после кончины Екатерины подарила их Александру I. Эти столики до сих пор украшают интерьер одного из залов Эрмитажа.
В Неаполе Дашкова получила письмо от Екатерины, в котором та очень любезно благодарила её за план карантинного госпиталя, обещала по её возвращении в Петербург устроить её сыну блестящую карьеру, назначить его камер-юнкером, что давало чин бригадира (V класс Табели о рангах). Эта любезность Екатерины, с одной стороны, её очень обрадовала, но с другой — взволновала. Еще в первую поездку по Европе «княгиня Михалкова» с сыном случайно встретили путешествующего с женой Григория Орлова. Грубый солдафон, он напрямую заявил им, что сожалеет о том, что, когда они вернутся в Петербург, его там не будет, и он, к сожалению, не удостоится чести рекомендовать князя Павла Дашкова императрице в качестве фаворита. На испуганное возражение Дашковой, что такие вещи нельзя говорить, да еще в присутствии молодого человека, Орлов заявил; весь двор знает, что Дашкова столько лет даёт особое воспитание и образование своему сыну, готовя его в фавориты для императрицы. Конечно, слушать такое, да ещё при сыне, Дашковой было весьма неприятно. Вот почему полученное ласковое и доброжелательное письмо государыни с предложением карьеры для сына при дворе, начиная с камер-юнкерства, читать было и сладко, и тревожно.
В начале 1782 года, по окончании Павлом университета, Екатерина II предложила Дашковой вернуться в Петербург. По возвращении Дашковых на родину Екатерина обласкала Екатерину Романовну так, что весь двор увидел: Дашкова не формально, а реально — фаворитка императрицы. По желанию, высказанному Екатериной Романовной, Екатерина пригласила её вместе с детьми в Царское Село на обед. Во дворце её встретил светлейший князь Потёмкин, который спросил, чего желает княгиня относительно князя Дашкова и каков его чин в армии. По тогдашним правилам Дашков был в юном возрасте зачислен в армию юнкером, чтобы ежегодно его заочно повышали в чине. Но пока повышения не были зарегистрированы, юнкер Дашков, по дворцовым правилам, не имел права сидеть за одним столом с императрицей. Однако Екатерина сказала громко, чтобы слышала вся свита: «Я нарочно хотела оставить вашего сына юнкером еще на один день и в этом качестве пригласила его обедать с собой, чтобы показать мое отличное внимание, с которым я ставлю ваших детей выше всех других». За обедом Екатерина посадила Дашкову рядом с собой и говорила исключительно с ней. Княгиня Дашкова была счастлива настолько, что пренебрегла мучившим её ревматизмом и весь вечер сопутствовала императрице в её вечерней прогулке. На следующий день Екатерина Романовна получила копию указа, по которому князь Дашков был произведён в капитаны Семёновского гвардейского полка, что давало ему армейский чин лейтенант-полковника.
Теперь первая статс-дама княгиня Дашкова два раза в неделю непременно виделась со своей благодетельницей. Узнав, что Дашкова живёт за городом, на даче, где от сырости осложняется её ревматизм, Екатерина подарила ей дом в Петербурге на выбор, какой Дашкова захочет купить. А через некоторое время она подарила Екатерине Романовне поместье Круглово.
С помощью Потёмкина, которого Дашкова считала своим другом, лейтенант-полковник Павел Дашков был направлен в действующую Южную армию, возглавляемую светлейшим князем, на такое место, которое исключало всякие опасения за его жизнь.
Чем можно объяснить такую государынину милость к Дашковой? Ну, во-первых, Дашкова за границей безупречно выступила перед европейскими правителями как представительница великой державы и великой самодержицы Российской Екатерины II. Во-вторых, Екатерина, видимо, соскучившись по общению с высокообразованной и умной женщиной, которая понимает важность для России воспитания новых людей, образования, развития науки, культуры, искусства, уже поняла, что преданная ей талантливая Дашкова может очень много сделать для России в этой области.