7(6). Центр вписанной окружности треугольника симметричен его центру описанной окружности относительно одной из его сторон. Найдите углы треугольника.
8(5). Решите уравнение
(х — 3)(х — 6)(х + 1)(х + 4) = 1080.
9(3+2). а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
b) Найдите площадь полученной фигуры.
10(4). Решите систему уравнений:
11(7). Медиана AM остроугольного треугольника ABC равна 25. Из точки М опущены перпендикуляры МР и MQ на отрезки АВ и АС соответственно. Найдите сторону ВС, если АР = 24, AQ = 15.
12(5). Три числа х, у, z образуют возрастающую арифметическую прогрессию, а их квадраты х2, у2, z2 составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 15.
13(5). Решите уравнение:
1 + 2sin2x = 2(sinx + cosx)
14(5). Решите уравнение
15(5). Решите неравенство:
ФИЗИКА
1. Латунь — это сплав меди и цинка. Для латунной детали массой М = 120 г и объемом V = 14 см3 определите, какая доля массы детали приходится на цинк. Считать, что объем детали равен сумме объемов меди и цинка.
Плотности меди и цинка считать известными.
2. Автобус и мотоцикл находятся друг от друга на расстоянии L = 20 км. Если они будут двигаться с постоянными различными скоростями в одном направлении, то мотоцикл догонит автобус через время t1 = 1 ч. Если они будут двигаться навстречу друг другу с теми же скоростями, то встретятся через t2 = 10 мин. Каковы скорости мотоцикла и автобуса?
3. Из пункта С, расположенного точно посередине между пунктами А и В, стартуют два мотоциклиста и велосипедист. Первый мотоциклист поехал со скоростью V = 90 км/ч в сторону пункта А, второй с такой же скоростью в сторону пункта В, а велосипедист в сторону пункта А со скоростью U = 30 км/ч. Первый и второй мотоциклисты, доехав до пунктов А и В, соответственно, сразу поворачивают и продолжают движение в обратном направлении. Определите время и место встречи мотоциклистов и велосипедиста, а также мотоциклистов. Расстояние между пунктами А и В равно L = 24 км.
4. В резервуар, имеющий форму параллелепипеда с вертикальными стенками, закачивается нефть. Дно резервуара представляет собой прямоугольник со сторонами a = 2,5 м и b = 2 м. Каждую секунду в резервуар поступает 20 кг нефти. С какой скоростью повышается уровень нефти в резервуаре?
5. Имеется высокая U-образная вертикально расположенная трубка. Площадь поперечного сечения трубки 5 постоянна по всей ее высоте и равна 0,8 см2. Верхний конец ее левого колена расположен на h = 4 см ниже верхнего конца правого колена (см. рис. 1). Трубка заполнена водой так, что она доходит до края левого колена. Затем в правое колено трубки наливают масло так, что его верхний уровень совпадает с верхним уровнем трубки (см. рис. 2). Какую массу масла налили? Какой объем воды вылился из трубки? Плотность воды ρв = 1 г/см3, плотность масла ρм = 0,8 г/см1.
6. В дне сосуда имеется круглое отверстие, на которое положен цилиндрический брусок радиуса R = 5 см и толщины d (см. рис. 3). Оси бруска и отверстия совпадают. В сосуд медленно наливают воду. Когда уровень воды поднялся выше верхней грани бруска на высоту d, брусок начал всплывать. Чему равен радиус отверстия r?
Плотность материала бруска равна ρ = 600 кг/м3, плотность воды — ρв = 1000 кг/м3.
7. Муравей находится на середине соломинки длиной l (см. рис. 4). Соломинка лежит на двух опорах. Левая опора находится на расстоянии l1 = 5l/12 от левого конца соломинки, а правая — на расстоянии l2 =13l/28 от ее правого конца. На какие максимальные расстояния от середины соломинки влево и вправо может отползти муравей, чтобы соломинка при этом не перевернулась. Масса муравья в 6 раз меньше массы соломинки, а его размеры много меньше длины соломинки. Соломинку считать однородным стержнем.
8. Для нагревания смеси медных и стальных опилок общей массой m = 200 г от температуры t1 = 20 °C до температуры t2 = 220 °C потребовалось подвести теплоты в количестве Q = 17,6 кДж. Какова масса медных опилок в этой смеси?
9. В сосуде с тонкими вертикальными стенками и площадью дна S = 100 см2 находятся вода и лед при температуре t1 = 0 °C, причем масса льда в 10 раз меньше массы воды. В сосуд целиком погружают нагретую до температуры t2 = 80 °C стальную деталь. При этом уровень воды сразу после погружения детали повышается на h = 3 см. Какова начальная масса воды в сосуде, если известно, что после установления теплового равновесия температура в нем оказалась равной t = 5 °C? Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь.
Удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг∙К), льда сл = 2100 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления льда λ = 330∙103 Дж/кг.
10. Три резистора включены в электрическую цепь, показанную на рис. 5. Если между точками А1 и В1 подать напряжение 30 В, то напряжение на сопротивлении R3 окажется равным 15 В. Если напряжение 60 В подать между точками А2 и В2, то напряжение на сопротивлении R1 окажется равным 30 В. Определите сопротивление резисторов R1, R2 и R3 если известно, что общее сопротивление цепи между точками A1, и В1 составляет 2 Ом.
11. Из одной точки над поверхностью Земли камень бросают дважды: первый раз со скоростью V0 вертикально вверх, а второй раз — с такой же скоростью вертикально вниз. Время полета камня до поверхности Земли в первом случае оказалось в два раза больше времени полета камня во втором случае. На какой высоте над Землей находилась точка, из которой были произведены броски? Сопротивлением воздуха пренебречь.
12. Тело брошено под углом к горизонту. В момент, когда оно оказалось на максимальной высоте h = 10 м, его скорость уменьшилась в два раза по сравнению с начальной. Определите начальную скорость тела и угол к горизонту, под которым оно было брошено. Сопротивлением воздуха пренебречь.