Бублик с одной дыркой называется тором , но бубликоподобные поверхности могут иметь любое число дырок. Двухмерные поверхности, которые являются одновременно компактными (замкнутыми и ограниченными в пространстве) и ориентируемыми (имеющими две стороны), можно классифицировать по числу дырок в них, или по роду . Объекты, имеющие различный вид в двух измерениях, считаются топологически идентичными, если они относятся к одному и тому же роду.

Сделанное выше утверждение о существовании только двух возможных двухмерных форм – бублика и сферы, справедливо лишь в случае, когда мы ограничиваемся ориентируемыми поверхностями, а именно о таких поверхностях мы в основном и будем говорить в этой книге. Мяч, например, имеет две стороны – внутреннюю и внешнюю, и то же самое справедливо в отношении велосипедной камеры. Но существуют и более сложные поверхности – односторонние, или «неориентируемые», такие как бутылка Клейна или лента Мёбиуса, для которых указанное утверждение не верно.

Рис. 1.2. В топологии сфера, куб и тетраэдр (как и многие другие геометрические тела) рассматриваются как эквивалентные, поскольку они могут быть получены друг из друга путем деформации, растяжения или сжатия без разрывов и разрезов

Рис. 1.3. Поверхности нулевого, первого, второго и третьего рода; термин «род» означает число дырок

Когда количество измерений превышает два, число возможных форм резко возрастает. Рассматривая пространства с большим числом измерений, мы должны допускать движения в тех направлениях, которые мы не в состоянии наглядно себе представить. Замечу, что речь идет не о тех направлениях, которые лежат, скажем, между направлением на север и направлением на запад (например, на северо‑запад) и даже не о направлениях типа «к северу через северо‑запад». Речь о таких направлениях, которые можно указать, только выйдя за пределы привычной нам системы координат, держа путь вдоль оси, которую только предстоит нарисовать.

Один из первых крупных прорывов на пути к изображению многомерных пространств был совершен в XVII веке великим Рене Декартом, французским математиком, философом, ученым и писателем. Впрочем, для меня он в первую очередь – геометр. В числе прочих вкладов в науку Декарт показал, что мышление на языке координат гораздо продуктивнее геометрических построений.

Система координат, которую он создал и которая сейчас носит название декартовой, объединила алгебру и геометрию. В узком смысле Декарт показал, что, построив три оси (x , y и z), перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в одной точке, можно точно указать положение любой точки в трехмерном пространстве, используя три числа: x , y и z , называемые координатами . Но на самом деле вклад Декарта гораздо шире – одним блестящим жестом он значительно расширил область исследований геометрии. Применение системы координат сделало возможным использование алгебраических уравнений для описания сложных многомерных геометрических фигур, которые нелегко себе представить.

Используя этот подход, можно работать с пространством любой размерности – не обязательно (x , y, z), но и (а , b , с , d , e , f) или (j, k , l , m , n , о , p , q , r , s ) – размерность каждого конкретного пространства определяется числом координат, необходимых для того, чтобы указать положение точки в этом пространстве. Вооружившись такой системой, можно рассматривать пространства любой размерности и проводить в них различные вычисления, не заботясь о том, как эти пространства изобразить.

Через два столетия после Декарта эту идею подхватил и развил великий немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. В 1850‑х годах, работая над геометрией искривленных (неевклидовых) пространств – этой темы мы еще коснемся в следующей главе, – Риман установил, что такие пространства не ограничены в смысле количества измерений. Он также показал, как можно в этих пространствах точно рассчитывать расстояние, кривизну и другие характеристики. В 1854 году при соискании должности экстраординарного профессора Риман сделал доклад «О гипотезах, лежащих в основах геометрии». Изложенные в нем принципы известны с тех пор как риманова геометрия . В этом докладе Риман задался вопросом о размерности и геометрии Вселенной как целого. Помимо этого, еще не достигнув тридцатилетнего возраста, Риман начал работу над математической теорией, способной связать воедино электричество, магнетизм, свет и гравитацию, – предвосхитив тем самым задачу, которая по сей день не дает покоя ученым.

Хотя Риману и удалось освободить пространство от ограничений евклидовой плоскости и трех измерений, физики в течение десятилетий не обращали внимания на его идеи. Отсутствие какого‑либо интереса с их стороны можно объяснить отсутствием каких‑либо экспериментальных доказательств, позволяющих сделать вывод об искривленности пространства или о существовании дополнительных измерений, помимо трех. Таким образом, новаторские математические построения Римана настолько опередили физику того времени, что потребовалось еще почти пятьдесят лет, чтобы физики (или, по крайней мере, один из физиков) смогли воспользоваться его идеями. Этим физиком стал Альберт Эйнштейн.

При разработке специальной теории относительности, которая была впервые представлена в 1905 году и в последующие годы развита в общую теорию относительности, Эйнштейн обратил внимание на идею немецкого математика Германа Минковского, состоящую в том, что время неразрывно связано с тремя пространственными измерениями, образуя с ними новую геометрическую конструкцию, известную как пространство‑время . Так неожиданно время обрело статус четвертого измерения, которое еще десятилетиями ранее было включено Риманом в его элегантные уравнения.

Любопытно, что британский писатель Герберт Джордж Уэллс предвосхитил ту же идею десятью годами ранее в своем романе «Машина времени». Как объясняет путешественник по времени, главный герой романа: «И все же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое – временным. Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему».[8]

Практически ту же самую мысль повторил Минковский в своей речи, произнесенной в 1908 году, за исключением разве что того факта, что он смог привести математическое обоснование своего претенциозного заявления: «Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность».[9] Разумное обоснование того, что эти два понятия (пространство и время) были соединены чем‑то вроде брачного союза – если, конечно, заключение брачного союза вообще нуждается в обосновании, – состоит в том, что любой объект движется не только через пространство, но и через время. Поэтому для того, чтобы описать какое‑либо событие в четырехмерном пространственно‑временном континууме, нужно не три, а четыре координаты – три пространственные и одна временная: (x , y , z , t ).

Хотя эта идея и может показаться немного пугающей, ее легко проиллюстрировать наглядным примером. Предположим, что вы собираетесь встретиться с кем‑либо в торговом центре. Вы запомнили, где находится здание – например, на углу Первой улицы и Второй авеню, – и договариваетесь встретиться на четвертом этаже. Так вы задаете свои пространственные координаты x , y и z . Теперь остается только установить четвертую координату – принять решение о времени встречи. Когда все координаты, наконец, заданы, вашу встречу можно считать полностью подготовленной, за исключением разве что каких‑либо непредвиденных обстоятельств, которые могут вмешаться в дело. Однако если вы хотите представить описанную выше ситуацию, пользуясь терминологией Эйнштейна, нельзя считать, что вы отдельно договариваетесь о месте и отдельно о времени встречи. На самом деле вы договариваетесь о расположении этого события в пространственно‑временном континууме.