382. На рисунке приведено одно решение с нечетными и четными числами.
383. Назовем ABCDE«пятиугольником», a F, G, H, J, K«вершинами» ( I). Запишем в пятиугольнике числа 1, 2, 3, 4, 5, как показано на рисунке II (мы начинаем с 1 и движемся по часовой стрелке, перескакивая каждый раз через один кружок). Чтобы заполнить звезду с суммой 24, воспользуйтесь следующим простым правилом. Найти Hможно, вычитая сумму Bи Cиз половины данной постоянной (24) и прибавляя E. Другими словами, надо 6 вычесть из 15, при этом получится искомое значение H, равное 9. Затем можно вписать в кружок Fчисло 10 (чтобы сумма оказалась равной 24), вписать 6 в J, 12 в Gи 8 в K. Решение получено.
Вы можете вписать в пятиугольник любые 6 чисел в любом порядке и с произвольной постоянной суммирования. В каждом случае вы получите с помощью указанного правила единственно возможное решение для данных пятиугольника и постоянной. Однако в этом решении могут встретиться повторяющиеся или даже отрицательные числа. Допустим, например, что я задал пятиугольник 1, 3, 11, 7, 4 и постоянную 26 (см. рисунок III). Тогда видно, что 3 повторяется, а добавочное число 4 отрицательно и практически его приходится вычитать, а не прибавлять. Вы можете также заметить, что если бы в случае IIмы заполнили пятиугольник теми же числами, но в другом порядке, то получили бы при этом повторяющиеся числа.
Ограничимся случаем десяти различных положительных целых чисел. Тогда 24 будет наименьшей возможной постоянной. Решение с любой большей постоянной можно получить из данного. Так, если мы хотим взять постоянную, равную 26, то достаточно добавить в вершины по 1. Если мы хотим взять постоянную 28, то в каждую вершину следует добавить по 2 или по 1 во все кружки. Для нечетных постоянных решений не существует, если мы не допускаем дроби. Каждое решение можно «вывернуть наизнанку». Так, рисунок IV — модификация рисунка II. Аналогично четыре числа в G, K, D, Jможно всегда изменить, если нет повторений, например вместо чисел 12, 8, 5, 6 на рисунке IIподставить числа 13, 7, 6, 5. Наконец, в любом решении постоянная равна ⅖ суммы всех десяти чисел. Поэтому если задано множество чисел, то мы можем определить постоянную, а по заданной постоянной найти сумму всех нужных чисел.
384. За недостатком места я не смогу здесь привести полное решение этой интересной задачи, но укажу читателю основные моменты.
1. При любом решении сумма чисел в треугольнике ABC(см. рисунок I) должна совпадать с суммой чисел в треугольнике DEF. Эта сумма может равняться любому числу от 12 до 27 включительно, кроме 14 и 25. Нам нужно получить решения лишь для случаев 12, 13, 15, 16, 17, 18 и 19, поскольку дополнительные решения 27, 26, 24, 23, 22, 21 и 20 можно получить из них, заменяя каждое число на разность между ним и 13.
2. Каждое решение составлено из трех независимых ромбов AGHF, DKBLи EMCI, сумма чисел в каждом из которых должна равняться 26.
3. Суммы чисел в противоположных внешних треугольниках равны между собой. Так, сумма чисел в треугольнике AIKравна сумме чисел в треугольнике LMF.
4. Если разность между 26 и суммой чисел в треугольнике ABCприбавить к любому числу, стоящему в вершине, скажем A, то получится сумма двух чисел, находящихся в соответствующих положениях Lи M. Так (см. рисунок II), 10 + 13 = 11 + 12 и 6 + 13 = 8 + 11.
5. Существует 6 пар, дающих в сумме 13, а именно 12 + 1, 11 + 2, 10 + 3, 9 + 4, 8 + 5, 7 + 6, и среди вершин может оказаться 1 или 2 такие пары, но никогда не окажется 3. Относительное расположение этих пар определяет тип решения. У регулярного типа, как на рисунке II, Aи F, а также Gи H(что показано пунктирными линиями) в сумме всегда дают 13 (при более подробном доказательстве этот класс необходимо было бы разбить на 2 подкласса и рассматривать каждый из них в отдельности). На рисунках IIIи IVприведены примеры двух нерегулярных типов.
Всего существует 37 решений (или 74, если мы будем считать и дополнительные решения, упомянутые в п. 1), из которых 32 будут регулярными и 5 нерегулярными.
У 6 из 37 решений сумма вершин равна 26, а именно:
| 10 | 6 | 2 | 3 | 1 | 4 | 7 | 9 | 5 | 12 | 11 | 8 |
| 9 | 7 | 1 | 4 | 3 | 2 | 6 | 11 | 5 | 10 | 12 | 8 |
| 5 | 4 | 6 | 8 | 2 | 1 | 9 | 12 | 3 | 11 | 7 | 10 |
| 5 | 2 | 7 | 8 | 1 | 3 | 11 | 10 | 4 | 12 | 6 | 9 |
| 10 | 3 | 1 | 4 | 2 | 6 | 9 | 8 | 7 | 12 | 11 | 5 |
| 8 | 5 | 3 | 1 | 2 | 7 | 10 | 4 | 11 | 9 | 12 | 6 |
Первое решение представлено на рисунке II, а предпоследнее — на рисунке III, так что, обратившись к рисунку, вы поймете, как следует располагать эти числа на звезде. Читателю следует все приведенные выше решения изобразить на звезде и помнить, что вместо 6 вместе с дополнительными получится 12 решений. Первые четыре решения будут регулярного, а последние два — нерегулярного типа. Если читатель попытается найти все 37 (или 74) решений данной головоломки, то ему будет полезно знать, что существует соответственно 3, 6, 2, 4, 7, 6, 9 (всего 37) решений с суммой вершин, равной 24, 26, 30, 32, 34, 36, 38.
[Для шестиконечной звезды существует 80 решений. — М. Г.]
385. Поместите 5 в верхний кружок. Затем расположите четыре числа (7, 11, 9, 3) на горизонтальной линии так, чтобы сумма внешних чисел равнялась 10, а внутренних 20 и чтобы разность между двумя внешними числами в два раза превышала разность между двумя внутренними числами. Затем поместите числа, дополняющие их до 15, в соответствующие кружочки, как показано пунктирными линиями. Остальные четыре числа (13, 2, 14, 1) расставить уже легко. Из этого основного размещения мы можем получить три остальных: первое — поменяйте местами 13 с 1, а 14 с 2; второе и третье — подставьте в полученных двух размещениях вместо каждого числа разность между ним и 15 (например, 10 вместо 5, 8 вместо 7, 4 вместо 11 и т. д.). Следуя этим правилам, читатель может сам построить вторую группу из четырех решений.
Общее решение слишком длинно, чтобы приводить его здесь полностью, однако существует всего 56 различных размещений (вместе с дополнительными). Я разбиваю их на три класса. В класс I включаются все случаи, подобные приведенным выше, где пары в положениях 7—8, 13—2, 3—12, 14—1 в сумме дают 15, а всего таких случаев 20. В класс II включаются случаи, в которых пары в положениях 7—2, 8—13, 3—1, 12—14 в сумме дают 15; таких случаев снова 20. В класс III входят все случаи, в которых пары в положениях 7—8, 13—2, 3—1, 12—4 в сумме дают 15; таких случаев 16. Всего получается 56 случаев.
[Для семиконечной звезды существует 72 решения. — М. Г.]
386. На рисунке приведено искомое решение. Сумма четырех чисел вдоль любой прямой равна 34. Если решение для одной звезды известно, то его можно без труда преобразовать в решение для второй звезды, отметив, как перемещаются числа в приведенных двух решениях.