Q7. Общая совокупность результатов, полученных всеми когда-либо жившими математиками, плюс совокупность результатов, которые будут получены всеми математиками за последующую, скажем, тысячу лет, — имеет конечную величину и может уместиться в банках памяти соответствующего компьютера. Такой компьютер, естественно, способен без особого труда воспроизвести все эти результаты, и, тем самым, повести себя (внешне) как математик-человек — что бы ни утверждало по этому поводу гёделевское доказательство.
Несмотря на кажущуюся логичность этого утверждения, здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно: способ, посредством которого мы (или компьютеры) определяем, какие математические утверждения истинны, а какие — ложны. (Во всяком случае, на простое хранениематематических утверждений способны и системы, гораздо менее сложные, нежели универсальный компьютер, — например, фотоаппараты.) Принцип использования компьютера в Q7совершенно не учитывает критического вопроса о наличии у этого самого компьютера способности суждения об истинности. С равным успехом можно вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится ничего, кроме перечня абсолютно ложных математических «теорем», либо случайным образом перемешанных истинных и ложных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделирование результатов сознательной интеллектуальной деятельности человека (в данном случае, в области математики) абсолютно невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности компьютер может «умудриться» сделать все правильно, пусть и не обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это до абсурдного малы, в то время как те вопросы, на которые мы здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы определяем, что вот это математическое утверждение истинно, а вот это — ложно?), в возражении Q7и вовсе не затрагиваются.
С другой стороны, Q7все же напоминает об одном более существенном соображении. Имеет ли непосредственное отношение к нашему исследованию обсуждение бесконечных структур ( всехнатуральных чисел или всехвычислений), если учесть, что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечнуювеличину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот безусловно важный вопрос отдельно.
Q8. Незавершающиеся вычисления суть идеализированные математические конструкции, по определению бесконечные. Вряд ли подобные вопросы могут иметь сколько-нибудь непосредственное отношение к изучению конечных физических объектов — таких, как компьютеры или мозг.
Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах Тьюринга, незавершающихся вычислениях и т.п., мы рассматривали бесконечные (потенциально) процессы, тогда как в случае людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализированные доказательства к реальным и конечным физическим объектам, следует быть готовыми к тому, что такая операция непременно окажется связанной с теми или иными ограничениями и оговорками. Однако, как выясняется, учет конечной природы реальных объектов не изменяет сколько-нибудь существенно сути доказательства Гёделя—Тьюринга. Нет ничего странного в том, что мы рассуждаемоб идеализированных вычислениях, обосновываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их теоретические ограничения. Можно, к примеру, обсуждать в абсолютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечетное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существует ли натуральное число, не являющееся суммой четырех квадратов (как в приведенных выше задачах (C)и (B)), нисколько не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно учитываем бесконечное множество всехнатуральных чисел. Мы имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычислениях (или машинах Тьюринга вообще) как о математическихструктурах, пусть и не в силах создать на практике бесконечно работающую машину Тьюринга. (Отметим, в частности, что действие машины Тьюринга, занятой поисками нечетного числа, являющегося суммой двух четных чисел, строго говоря, практически реализовать невозможно, так как ее детали износятся гораздо раньше, чем минет вечность.) Описание любого единичного вычисления (или действия машины Тьюринга) — задача вполне конечная, а вопрос о том, завершится ли в конечном итоге это вычисление, можно полагать вполне определенным. Сначаламы доводим до логического завершения теоретические рассуждения, связанные с теми или иными идеализированными вычислениями, и лишь затемпытаемся разглядеть, каким образом наши рассуждения применимы к конечным физическим системам — таким, как реально существующие компьютеры или люди.
Ограничения конечного характера могут быть обусловлены либо тем, что (I) описание конкретного рассматриваемого вычисления оказывается слишком громоздким (т.е. число nв C nили пара чисел q, nв C q( n) оказываются слишком велики для того, чтобы их мог описать человек или реально существующий компьютер), либо тем, что (II) при внешней простоте описания вычисление, тем не менее, требует для своего выполнения чрезмерно много времени, в результате чего может показаться, что оно не завершается вовсе, хотя теоретически данное вычисление должно в конечном счете завершиться. На деле же, как мы вскоре убедимся, выясняется, что из этих двух условий сколько-нибудь существенное влияние на наши рассуждения оказывает только (I), да и оно не так уж и велико. Незначительность фактора (II), быть может, покажется вам удивительной. Существует множество относительно простых вычислений, которые в конечном счете завершаются, однако точки их завершения путем прямого вычисления не способен достичь ни один потенциально возможный компьютер. Рассмотрим, например, следующую задачу: «распечатать последовательность из 2 2 65536единиц, после чего остановиться». (В §3.26будут предложены еще несколько подобных примеров, гораздо более интересных с математической точки зрения.) Вопрос о завершаемости того или иного вычисления не следует решать путем прямого вычисления: этот метод зачастую оказывается крайне неэффективным.
Для того чтобы выяснить, каким образом ограничения (I) или (II) могут повлиять на наши гёделевские рассуждения, пройдемся еще раз по соответствующим частям доказательства. В соответствии с ограничением (I), вместо бесконечного ряда вычислений, мы располагаем рядом конечным:
C 0, C 1, C 2, C 3, …, C Q,
где предполагается, что число Qзадает наиболее громоздкое вычисление, какое способен выполнить наш компьютер или человек. В случае с человеком вышеприведенное утверждение можно счесть несколько туманным. Впрочем, в настоящий момент нас не особенно заботит точное определение числа Q. (Вопрос о туманности утверждений, касающихся человеческих способностей, будет рассмотрен ниже, в комментарии к возражению Q13в §2.10.) Кроме того, можно предположить, что, попытавшись применить упомянутые вычисления к какому-то конкретному натуральному числу n, мы обнаружим, что значение nограничено некоторой фиксированной величиной N, поскольку наш компьютер (или человек) оказывается не способен работать с числами, превышающими N. (Строго говоря, следует учесть и возможность того, что число Nне является фиксированным, но зависит от того или иного конкретного вычисления C q, т.е. Nможет зависеть от q. Однако этот факт не влияет на наши рассуждения сколько-нибудь существенным образом.)