6.4. Матрица плотности

Многие физики, полагая себя людьми практичными, вопросами «реальности» вектора | ψ〉 не интересуются. От | ψ〉 им нужно лишь одно — возможность вычислять с его помощью вероятности того или иного дальнейшего физического поведения объекта. Часто бывает так, что состояние, выбранное изначально для представления физической ситуации, приобретает под действием эволюции чрезвычайную сложность, а его сцепленности с элементами окружения становятся настолько запутанными, что на практике совершенно невозможно проследить за эффектами квантовой интерференции, отличающими такое состояние от множества других ему подобных. Все уверения в том, что явившийся результатом данной конкретной эволюции вектор состояния сколько-нибудь более реален, нежели прочие, на практике от него неотличимые, наши «практичные» физики, без сомнения, сочтут абсолютно лишенными смысла. В самом деле, скажут они, любой отдельныйвектор состояния, пригодный для описания «реальности», всегда можно заменить подходящей  вероятностной комбинациейвекторов состояния. Если применение процедуры Uк некоему вектору состояния, представляющему начальное состояние системы, дает результат, с практической точки зрения(FAPP-подход Белла) неотличимый от того, что был бы получен с помощью такой вот вероятностной комбинации векторов состояния, то вероятностная комбинация достаточно хороша для описания мира и отыскивать U-эволюционировавший вектор состояния нужды нет.

Часто утверждают, что с такими же мерками можно подходить и к процедуре R— по крайней мере, на практике (все тот же FAPP). Двумя параграфами ниже мы попытаемся найти ответ на вопрос, можно ли в самом деле разрешить кажущийся U/ R-парадокс одними лишь этими методами. Однако прежде я хотел бы рассказать подробнее о процедурах, принятых в стандартных FAPP-подходах к объяснению R-процесса (реального или кажущегося).

Ключевым в этих процедурах является математический объект, называемый матрицей плотности. Понятие матрицы плотности играет в квантовой теории весьма важную роль, и именно она, а не вектор состояния, лежит в основе большинства стандартных математических описаний процесса измерения. Центральную роль отводит матрице плотности и мой, менее традиционный, подход, особенно в том, что касается ее связи со стандартными FAPP-процедурами. По этой причине нам, к сожалению, придется углубиться в математический формализм квантовой теории несколько далее, нежели было необходимо прежде. Надеюсь, что читателя-неспециалиста такая перспектива не отпугнет. Даже при отсутствии полного понимания, мне думается, любому читателю будет полезно хотя бы бегло просматривать математические рассуждения по мере их появления — несомненно, со временем придет и осмысление. Это стало бы существенным подспорьем для понимания некоторых из дальнейших аргументов и тонкостей, сопровождающих поиски ответа на вопрос, почему нам действительно и насущно необходима усовершенствованная теория квантовой механики.

В отличие от отдельного единичного вектора состояния, матрицу плотности можно рассматривать как представление комбинации вероятностей нескольких возможных  альтернативныхвекторов состояния. Говоря о «комбинации вероятностей», мы подразумеваем лишь, что существует некоторая неопределенность в отношении действительного состояния системы, при этом каждому из возможных альтернативных векторов состояния поставлена в соответствие некоторая вероятность — самая обычная классическая вероятность, выраженная самым обычным вещественным числом. Однако матрица плотности вносит в это описание некоторую путаницу (заложенную изначально), поскольку не отличает классическиевероятности, фигурирующие в вышеупомянутой взвешенной вероятностной комбинации, от вероятностей квантовомеханических, возникающих в результате процедуры R. Дело в том, что операционными методами различить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же смысле вполне уместным представляется математическое описание (матрица плотности), которое такого различия  неделает.

Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна [43]. Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния | ψ〉 мы используем объект вида

Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15) вектора состояния | ψ〉 и «комплексно сопряженного» ему вектора 〈 ψ|. Вектор состояния | ψ〉 мы полагаем  нормированным(т.е. 〈 ψ|ψ〉 = 1); тогда выражение | ψ〉〈 ψ|однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором | ψ〉 (поскольку не зависит от изменений фазового множителя | ψ〉 ↣ e ^iθ| ψ〉, см. §5.10). В системе обозначений Дирака исходный вектор | ψ〉 называется «кет»-вектором, а соответствующий ему 〈 ψ|— «бра»-вектором. Бра-вектор 〈 ψ|и кет-вектор | φ〉 могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket» [44]):

с таким обозначением мы уже встречались в §5.12. Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение | ψ〉〈 φ| в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.

Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа(или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения | ψ〉〈 φ| эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:

В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,

Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как 〈 ψ|и | ψ〉〈 φ|, однако кое о чем упомянуть стоит. Во-первых, произведение | ψ〉〈 φ| подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены в  §5.15для произведения |ψ〉 |φ〉 (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):

Следует также отметить, что бра-вектор z'〈 ψ|является комплексным сопряженным кет-вектора z|ψ〉 (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8), а сумма 〈 ψ|+ 〈 χ|— комплексным сопряженным суммы |ψ〉 + |χ〉.

Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, | α〉 и | β〉; вероятности, соответственно, равны  aи b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид