В последующих главах мы разработаем такую формальную систему, которая (1) включает стилизованный лексикон, способный выразить все высказывания о натуральных числах и (2) имеет правила, соответствующие всем необходимым типам рассуждений. При этом возникает вопрос, сравнима ли мощность подобных формальных правил (по крайней мере, в сфере теории чисел) с мощностью тех правил, которыми мы регулярно пользуемся в наших мыслительных процессах. Иными словами, существует ли теоретическая возможность, используя формальную систему, достичь уровня наших мыслительных способностей?

Соната для Ахилла соло

Звонит телефон — Ахилл берет трубку.

Ахилл: Алло, Ахилл слушает.

Ахилл: А, здравствуйте, г-жа Черепаха. Как дела?

Ахилл: Кривошея и чихиллит? Что такое чихи… — а, теперь понимаю. Будьте здоровы!… Что и говорить, неприятная комбинация. Как это вы ухитрились такое подцепить?

Ахилл: И долго вы ее так продержали?

Ахилл: Еще на самом сквозняке — не удивительно, что вам в шею надуло!

Ахилл: Что же вас заставило так долго там проторчать?

Ахилл: Многие из них удивительные? Какие, например?

Ахилл: Фантасмагорические чудища? Что вы имеете в виду?

Ахилл: И вам не страшно было в такой компании?

Ахилл: Гитара? Вот странно — откуда взялась гитара среди этих диковинных созданий. Кстати, вы играете на гитаре?

Ахилл: Ах, для меня это одно и то же.

Ахилл: Вы правы удивительно, как это я сам до сих пор не заметил, в чем разница между гитарой и скрипкой. Кстати о скрипках: не хотите ли вы  заглянуть ко мне и послушать сонату для скрипки соло вашего любимого композитора, И. С. Баха? Я только что купил отличную запись. Поразительно, как это Баху удалось, используя одну-единственную скрипку, создать такую интересную вещь.

Ахилл: Головная боль тоже? Бедняжка… Пожалуй, вам лучше лечь в постель и постараться заснуть.

Ахилл: Понятно. Овец считать уже пробовали? Где-то у меня была целая картотека подобных трюков — говорят, они здорово помогают от бессоницы.

Ахилл: Ах, да. Я отлично понимаю, что вы имеете в виду — я это тоже пробовал. Может быть, если уж эта задачка так застряла у вас в голове, вы поделитесь ею со мной, чтоб и я мог попробовать свои силы?

Ахилл: Слово, внутри которого встречаются подряд буквы «Р», «Т», «О», «Т», «Е»… Г-м-м… Как насчет «ретотра»?

Ахилл: Ах, какой стыд… Конечно вы правы — я опять все перепутал. К тому же в слове «реторта» эти буквы все равно идут задом наперед.

Ахилл: Уже несколько часов? Хорошенькую вы мне задали задачку… Где вы откопали такую дьявольскую головоломку?

Ахилл: Вы имеете в виду, что он только делал вид, что размышляет над эзотерическими буддистскими проблемами, когда на самом деле он пытался придумать сложные словесные головоломки?

Ахилл: Ага! Улитка знала, чем он занимается. Как же вам удалось с ней переговорить?

Ахилл: Вы знаете, я как-то слышал похожую головоломку. Хотите, я вам ее задам? Или это еще хуже вас отвлечет?

Ахилл: Согласен — хуже уже вряд ли будет. Так вот: какое слово начинается с «КА» и кончается на «КА»?

Ахилл: Очень остроумно — но это нечестно. Я совершенно не это имел в виду!

Ахилл: Согласен, это слово выполняет условие; но все равно это какое-то дегенеративное решение.

Ахилл: Абсолютно верно! Как вам удалось так быстро найти ответ?

Ахилл: Это — еще один пример того, какой полезной может оказаться картотека трюков от бессоницы. Прекрасно! Но я все еще блуждаю в потемках с вашей задачкой о «PTOTE».

Ахилл: Поздравляю — теперь вам, может быть, удастся заснуть. Скажите же мне решение!

Ахилл: Вообще-то я не люблю подсказок, но на этот раз ладно, валяйте.

Ахилл: Не понимаю. Что вы имеете в виду под «рисунком» и «фоном»?

Ахилл: Разумеется, я знаком с «Мозаикой II». Я знаю ВСЕ работы Эшера. В конце концов, это мой любимый художник! Кстати, репродукция «Мозаики II» висит прямо у меня перед носом.

Ахилл: Всех черных зверей? Конечно, вижу!

Ахилл: Верно: их «негативное пространство» — то, что остается свободным — определяет белых зверей.

Ахилл: А, так вот что вы называете «рисунком» и «фоном»! Но какое отношение это имеет к головоломке о «Р-Т-О-Т-Е»?

Ахилл: Это для меня слишком сложно… Теперь и у меня начинает болеть голова; пойду, пожалуй, поищу мою спасительную картотеку, может быть она мне поможет забыться сном.

Ахилл: Вы хотите зайти сейчас? Но я думал…

Ахилл: Ну что ж, хорошо. А я пока постараюсь решить эту задачку с помощью вашей подсказки о рисунке и фоне и моей головоломки.

Ахилл: С удовольствием сыграю их для вас.

Ахилл: Вы изобрели о них теорию?

Ахилл: В сопровождении какого инструмента?

Ахилл: В таком случае, как странно, что он не записал также и партию клавесина, и не опубликовал их в таком виде.

Ахилл: А, понимаю — нам предоставляется выбор: слушать ее с аккомпанементом или без оного. Но откуда мы знаем, как он должен звучать?

Ахилл: Да, вы правы — наверное, лучше всего оставить эту работу воображению слушателя. Согласен — может быть, у Баха в мыслях вообще не было никакого аккомпанемента. Действительно, эти сонаты и так звучат замечательно.

Ахилл: Точно. Ну, до скорого.

Ахилл: Пока, г-жа Ч.

Рис. 14. М К. Эшер. «Мозаика II» (литография, 1957).

ГЛАВА III: Рисунок и фон

ТО, ЧТО некоторые понятия можно выразить при помощи простых манипуляций типографскими символами, кажется довольно странным. До сих пор мы передали таким образом лишь понятие сложения, и это, возможно, не показалось нам удивительным. Предположим, однако, что мы захотим создать формальную систему с теоремами вида Px, где x было бы строчкой, состоящей из тире. Количество этих тире должно было бы выражаться простым числом. Так, P-- — было бы теоремой, в то время как P--- теоремой бы не являлось. Как это может быть выражено с помощью типографских операций? Сначала необходимо точно определить, что мы имеем в виду под «типографскими операциями». Полное описание было дано в системах MIU и pr, так что сейчас мы ограничимся только списком наших возможностей:

(1) читать и узнавать любое из конечных множеств символов;

(2) записывать любой из символов, принадлежащий такому множеству,

(3) повторять любой из этих символов в другом месте;

(4) стирать любой из этих символов;

(5) проверять, одинаковы ли два символа;

(6) сохранять и использовать список ранее выведенных теорем.

Список получился немного повторяющимся, но это не столь важно. Главное то, что он позволяет только самые тривиальные операции, намного проще, чем операция отличения простого числа от не простого. Как же, в таком случае, мы сможем совместить несколько операций и создать такую формальную систему, в которой простые числа отличались бы от составных?

Первым шагом может стать решение более простой, но сходной задачи. Мы можем попытаться придумать систему, похожую на систему pr, но которая вместо сложения представляла бы умножение. Назовем ее системой ur (u = «умноженное на»). Предположим, что X, Y, Z , соответственно, — это количество тире в строчках x, y, z. (Обратите внимание, что я специально делаю упор на различии между строчкой, и количеством тире, которое эта строчка содержит.) Мы хотим, чтобы строчка xuyrz была теоремой только в том случае, когда X, умноженное на Y, равняется Z. Например, --u---r------ должно быть теоремой, так как 2, умноженное на 3, равняется 6, в то время как --u--r--- теоремой быть не должно. Систему ur так же просто описать, как и систему pr. Для этого нужны всего лишь одна аксиома и одно правило вывода