Так, в лаборатории Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова убедились, что принятая методика преподавания счета (описанная нами выше) дает детям не понятие числа, а лишь два абстрактных, притом противоречащих одно другому, представления о числе. Два частных случая числового выражения реальных вещей – вместо действительно общего принципа. При этом один частный случай выдается этой методикой за «общий», а другой, как более сложный, – за «конкретный».

Один раз число выражает количество единичных вещей, а другой раз – количество их «составных частей».

Поняв это, в лаборатории пришли к выводу, что надо делать наоборот. Сначала нужно объяснить детям действительно общую природу числа, а уже потом показывать два «частных случая» его применения.

Но, само собой ясно, что ребенку не сообщишь «понятия числа», очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», от связи с каким-нибудь одним «частным случаем». Поэтому надо искать и найти такой «частный» (а потому наглядный, чувственно-предметный) случай, где число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде. Нужно искать такое «частное», которое выражало бы только «общую» природу числа, а не подсовывало бы ему вместо этого опять лишь «частное».

Пытаясь решить эту задачу – отчасти психологическую, отчасти – логическую и математическую, сотрудники лаборатории пришли к выводу, что неправильно вообще начинать обучение детей математике с «числа», то есть с операции счета, сосчитывания. Безразлично – «единичных вещей» или их «составных частей» {10}.

Есть все основания полагать, что действия с «числами», составляющие традиционную «арифметику», далеко не самые «простые», а арифметика вовсе не составляет самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким этажом оказываются некоторые понятия, обычно относимые к «алгебре».

Опять парадокс. Ведь по традиции считается издавна, что «алгебра» – это вещь более сложная, чем «арифметика», посильная лишь шестикласснику и в «истории математики» оформившаяся позже ее.

Анализ показывает, что и в истории знания «алгебра» необходимо должна была возникнуть не позже «арифметики». Конечно, речь идет о действительной истории математического развития людей, а не о истории математических трактатов, которая отражала подлинную историю лишь «задним числом», а потому – кверху ногами.

Как показывают исследования, простейшие количественные соотношения, которые описывает «алгебра», и в истории были осознаны раньше, чем человек вообще «изобрел» число и счет. В самом деле, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, деление и умножение чисел, они по необходимости должны были пользоваться такими словами, как «больше», «меньше», «дальше», «ближе» «потом», «раньше», «равно», «неравно» и т.п. Именно в этих «словах» нашли свое выражение общие количественные (пространственно-временные) соотношения между вещами, явлениями, событиями.

Но в специально-математических трактатах эта стадия математического развития мышления, естественно, зафиксирована не была. И если реальная история развития математического мышления началась раньше, чем появились первые теоретические трактаты по математике, то и «логическая» последовательность преподавания математики (= развития математической способности) должна начинать с действительного «начала».

С правильной ориентировки человека в количественном плане реальной действительности, а не с числа, которое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества, лишь частный случай «количества».

Поэтому надо начинать с действий, выделяющих для человека этот «количественный» план рассмотрения окружающего мира, чтобы потом придти к «числу» как к развитой форме выражения «количества», как к более позднему и сложному умственному отвлечению. [49].

Принцип совпадения «логического с историческим» – великий принцип диалектической логики. Но его проведение предполагает одну опять-таки диалектически-коварную деталь. А именно, логическое должно соответствовать действительной истории предмета, а не истории теоретических представлений относительно этой истории.

Анализируя историю политической экономии, Карл Маркс отметил важнейшее (с точки зрения диалектики) обстоятельство: «Историческое развитие всех наук только через множество перекрещивающихся и окольных путей приводит к их действительной исходной точке. В отличие от других архитекторов наука не только рисует воздушные замки, но возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем она заложила его фундамент» {11}.

Да, действительный «логический фундамент», на котором держатся верхние этажи, наука «открывает» в своем предмете лишь задним числом.

И этот «фундамент» предполагался «верхними этажами», но не был ясно понят, показан и проанализирован. Он предполагался в смутном, неотчетливо сформулированном виде, часто в качестве «мистических» представлений. Так случилось, например, и с дифференциальным исчислением. Ньютон и Лейбниц это исчисление «открыли», научили людей им пользоваться, но сами не могли понять – почему, на каких реальных основаниях держится вся его сложная конструкция, то есть – какие более «простые» понятия и действия она реально предполагает. Это было установлено лишь позже – Лагранжем, Эйлером и другими теоретиками.

Число и счет в действительности предполагали и предполагают в качестве своих реальных предпосылок ряд представлений, до понимания коих математика (как и «все науки») докопалась лишь «задним числом». Здесь идет речь как раз об общих предпосылках и того, и другого. О тех понятиях, которые должны быть развиты (и усвоены) раньше, чем число и счет. Потому, что они имеют более общий характер, и потому – логически более просты.

Если же говорить о тех математических «знаках», с помощью которых эти наиболее общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а скорее те знаки, которые давным-давно использует алгебра. [50]

Это – знаки равенства, неравенства. Знак «больше» (>), знак «меньше» (<). И все эти знаки обозначают отношения величин. Именно «величин» – то есть любых величин, неважно каких в частности, выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных. Отношения величин вообще.

Само собой понятно, что представление о «величине» и в истории мышления появилось у людей раньше, чем умение точно измерять эти величины тем или иным способом и выражать их «числом».

Умение выделять из всего многообразия чувственно-воспринимаемых качеств вещей специально лишь одно, а именно – их «величину». А затем – умение сравнивать эти «величины» или вещи только как величины. Судить – равны они или нет. Судить, какая из них «больше» или «ближе», какая «меньше» или «дальше» – в пространстве или во времени.

А уж затем, когда обнаружилось, что суждения такого рода слишком «общи», слишком неполны (= «абстрактны»), чтобы действовать в мире на их основе, стал возникать вопрос, а на сколько именно «больше» («меньше»). И только здесь, собственно, возникла и потребность в «числе» и «счете», и сами «число» и «счет».

По той причине, что без них, без этих более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже нельзя было бы решить более сложных и конкретных предметно-практических задач, связанных с отражением количественной определенности окружающего мира...

Человек «изобрел» число вовсе не путем «абстрагирования» от всех и всяких «качеств», не благодаря тому, что научился «не обращать внимания» на разницу камня и мяса, палки и огня. Как раз наоборот – в «числе» и «счете» он нашел средство более глубокого и конкретного выражения именно качественной (самой важной и первой) определенности.

Число «понадобилось» человеку там и только там, где жизнь поставила его перед необходимостью сказать другому человеку (или самому себе) – не просто «больше» («меньше»), а насколько больше (меньше).