Аристотель опроверг математический подход к физике, развитый Платоном в "Тимее". Если у Платона математика обосновывала физику, то Аристотель, напротив, математику подчинил физике. Например, он ищет сущность треугольника в той конкретной, абстрагируемой от свойств реальных тел, геометрической форме, которая проявляется в фактическом равенстве или неравенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым (Аристотель. Вторая аналитика, 90 А 30). Он ищет сущность треугольника в свойствах самой прямой линии (См.: Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 3. - М.: Мысль, 1981. - С. 101), что и сближает представления Аристотеля о качестве математических предметов с современностью.
Гегелевская ретроспекция аристотелевского категориального аппарата даёт методологический ориентир для понимания философии математики Аристотеля или, как пишет Гегель, "философского рассмотрения пространства и времени". Однако, к сожалению, имеется очень незначительное количество работ, посвящённых рассмотрению естественнонаучных концепций античности "глазами" Гегеля. В ряде работ рассматриваются только параллели между отдельными положениями аристотелевских трактатов и такими работами Гегеля, как "Философия духа", "Лекции по истории философии" (См.: Rollwage Jurgen. Das modalproblem und die historische Handlung (Ein Vergleich zwischen Aristoteles und Hegel). - Diss. Munchen, 1968).
Анализируя опытный и теоретический материал предшественников, Аристотель ставил вопросы так, что та или иная проблема вырисовывалась у него во всех её многочисленных связях и отношениях, а живая мысль всюду получала своё оформление в непрерывных исканиях и "запросах диалектики" (См.: Ленин В.И. Философские тетради. - М.: Политиздат, 1978. - С. 326). Об этой диалектической способности мышления, приводящей к расширению философского пространства, В.И. Ленин как-то заметил словами самого Гегеля: "И относительно других предметов также требуется известное развитие для того, чтобы уметь задавать вопросы, тем более относительно философских предметов, так как иначе может получиться ответ, что вопрос никуда не годится (Ленин В.И. Полн. собр.соч. - Т. 29. - С. 103).
Каждая наука, согласно Аристотелю, может быть доказана из свойственных ей специфических начал, определяющих границы отдельных наук. Однако есть одно общее для всех наук начало, исследование которого и является делом философа. По Аристотелю, таким началом выступает ум.
Проблема начала доказательства сегодня также актуальна, как и две с половиной тысячи лет тому назад, ибо многие представители современной зарубежной философии ставят под сомнение объективность научного знания, причём делают это далеко не лучшим образом, нежели скептики периода античной Греции. Каждое доказательство у Аристотеля есть своего рода умозаключение, но не всякое умозаключение служит доказательством. Нахождение начал доказательства есть обоснование самого доказательства. Но начало как основа доказательства, со своей стороны, также требует своего последующего обоснования и т.д. Регресс же в бесконечность, по Аристотелю, не даёт положительного решения проблемы, так как при нём возможность обоснования всякого рода знания вообще исключена. Однако если существует какой-то факт знания, то существует и начало доказательства. Отрицание начала здесь просто логически невозможно, так как само отрицание, как своего рода доказательство, должно иметь своё начало. Таким образом, необходимость начала доказательства заключается в невозможности его отрицания.
Далее. Существует множество наук, следовательно - множество начал. Но так как науки сходны между собой по их логической основе, то они должны иметь общее начало. Вот перед какой трудностью встал Аристотель и, решая её, не смог быть до конца последовательным, из-за чего и заслужил, не без определённых на то оснований, критику скептиков в их "новых тропах".
Положение о невозможности противоречия является, согласно Аристотелю, недоказуемой основой доказательства. Однако своим допущением невозможности противоречия он уже заранее использовал категорию противоречия и не подозревал, что подлинное начало доказательства надо искать не в сфере аксиом, а в системе категорий, что как раз и было осуществлено К. Марксом (См.: Джохадзе Д.В. Диалектика Аристотеля. Авт-т дисс. канд. филос. наук. Тбилиси, 1977. - С. 32).
Проблема начала доказательства у Аристотеля выглядит сложнее, чем это кажется с первого взгляда. Это видно хотя бы из того, что он различает "доказательство того, почему это так" от "доказательства того, что это так". В последнем случае имеется в виду доказательство, убеждающее нас в верности положения, но не выясняющее его причин, а в первом - доказательство, убеждающее в правильности чего-либо с помощью выяснения его причины (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных линий на средневековом Востоке IX-XIV вв. - М.: Наука, 1983. - С. 68).
Данное разграничение, введённое Аристотелем в общую логику доказательства, вытекает из анализа предпосылок теоремы о сумме углов треугольника, которая была известна уже в глубокой древности. Её доказательство при этом опиралось на описание параллельных линий. Но, так как Аристотель всегда стремился поставить вопрос о подлинном начале, т.е. о таком начале, относительно которого не может существовать двух разных мнений, то его, естественно, не могли полностью удовлетворять и доказательства вышеупомянутой нами теоремы. Так, в "Аналитике первой" он отмечает: "Пусть А означает два прямых угла, Б - треугольник, а В равнобедренный. А присуще В через Б; А же присуще Б не через что-то другое, ибо треугольник сам по себе имеет в совокупности два прямых угла. Так что для посылки АБ, которая хотя и может быть доказана, не будет среднего термина" (Аристотель. Соч. в 4-х т.: Т. 1. - С. 188).
Однако Аристотель не останавливается здесь перед фактом отсутствия "среднего термина", а стремится вскрыть подлинную причину самой причины того, что сумма углов треугольника равна двум прямым. При этом он указывает на ошибку "постулирования основания", часто совершаемую геометрами. "Так поступают, например, те, - пишет Аристотель, - кто думает, что описывают параллельные линии. В самом деле, они, сами того не зная, в основу доказательства берут нечто такое, что само не может быть доказано, если линии не параллельны" (Там же. - С. 237). Действительно, поскольку данная основа, т.е. теорема о сумме внутренних углов треугольника, здесь сама опирается на свойство параллельности двух линий, то возникает логический круг, и Аристотель прямо замечает, что "если бы кто-либо захотел доказать, что прямые линии не пересекаются, он мог бы подумать, что доказательство этого возможно потому, что это свойство имеется у всех прямых линий. Но это не так, поскольку доказывать следует не то, что углы равны при каких-то определённых условиях**, а то, что они равны при любых условиях" (Аристотель. Вторая аналитика, 74 а 10-15. - Там же. - С. 266). "И если бы не было другого треугольника, кроме равнобедренного, то свойство иметь [в совокупности] два прямых угла казалось бы присущим треугольнику, поскольку он равнобедренный" (Там же).
______________ ** А именно при условии, что прямые перпендикулярны к прямой, падающей на них (Срав. "Начала Евклида" I, предложение 28).
Из вышеприведённого текста можно заключить, что Аристотель рассматривал процесс подлинного описания параллельных линий независимо от всякого рода доказательств данной теоремы, "так как иное по своей природе познаётся через само себя... а именно начала познаются через самих себя" (Аристотель. Аналитика первая, 64 б 35).
Но именно вопрос о начале всегда и интересовал Аристотеля, который полагал, "что для начал нет доказательств" (Аристотель. Аналитика вторая, 90 б 25) и искал подлинное начало доказательства, как мы уже отмечали ранее, в сфере аксиоматического знания. Вероятнее всего, Аристотель решал вопрос о выборе наиболее подходящей аксиомы параллельных линий. Возможно, что один из вариантов такой аксиомы был приведён самим Аристотелем. Во всяком случае, Омар Хайям в "Комментариях к трудностям во введении книги Евклида" приводит так называемый четвёртый принцип, заимствованный у Аристотеля: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения" (См.: Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Указ. соч. - С. 11).