2) Альнасави, арабскій писатель XI вѣка, нѣсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ рѣшаетъ такъ:

Интересно отмѣтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цѣлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже дѣлителя; все это считается обозначеніемъ смѣшанной дроби 237⁸/₁₂.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще болѣе легкій образецъ дѣленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примѣръ-то самъ по себѣ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:

4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цѣпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать дѣлителя нѣсколько разъ даже въ легкомъ примѣрѣ. 924 : 6 у него представляется въ такомъ видѣ:

3 2

9 2 4

6 6 6

——————

1 5 4

Частное въ самомъ низу, дѣлитель надъ нимъ, еще выше дѣлимое и, наконецъ, въ самой верхней строкѣ послѣдовательные остатки.

5) Петценштейнеръ въ XV ст., нѣмецкій пегагогъ, нисколько не измѣняетъ основного хода дѣйствія и всего только вводитъ ту подробность, что пишетъ частное справа за чертой. Дано раздѣлить 467 на 19.

Получается довольно красивое расположеніе, съ ясной наклонностью къ симиетріи. Начиная съ этихъ поръ, математики обращаютъ вниманіе на то, чтобы груда цифръ не представляла собой чего-то безпорядочнаго и несимметричнаго, а образовывала изящную фигуру, построенную по извѣстной идеѣ. Особенно любили изощряться надъ построеніемъ фигуръ итальянцы, и надо отдать имъ справедливость, что они много успѣли въ этой безполезной и даже вредной игрѣ; вѣдь всякая погоня за ненужнымъ и постороннимъ вредитъ, въ концѣ концовъ, главной и существенной цѣли; такъ и здѣсь, одинъ авторъ передъ другимъ старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное по внѣшнему виду, но забывали главное достоинство, т.-е. быстроту вычисленій, удобство и вѣрность.

6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять дѣленіе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.

Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непремѣнно умѣли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобрѣлъ.

Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака дѣленія (угла); лѣвѣе, въ одной съ нимъ строкѣ. располагается дѣлимое; что же касается дѣлителя 9876, то онъ помѣщенъ четыре раза: первый разъ подъ дѣлимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ послѣдній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строкѣ снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ дѣлимымъ, на самомъ правомъ мѣстѣ. Дѣйствіе начинается съ того, что 97535 дѣлится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 × 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; далѣе 8 × 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все далѣе и далѣе, до тѣхъ поръ, пока не кончимъ его.

Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ рядѣ вычисленій. Положимъ, что передвиженіе дѣлителя помогаетъ разбираться скорѣе и вѣрнѣе въ разрядахъ, но все-таки избѣжать ошибокъ очень трудно, а между тѣмъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо передѣлывать снова, потому что выдѣлить вѣрное отъ невѣрнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при дѣленіи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполнѣ себѣ представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило вѣрное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы рѣшить примѣръ на дѣленіе — на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, нѣсколько ранѣе разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ариѳметику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что

 7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгоднѣе начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не рѣшается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случаѣ умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ дѣлимое 7985643, дѣлитель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.

Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лукѣде-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной цѣли — изящества.

Бешенштейнъ и Ризе, нѣмецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы дѣленія.

8) Штифель и Петръ Рамусъ дѣлаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, послѣ того, какъ они уже составлены, а не по отдѣльнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ — заготовлять заранѣе произведенія дѣлителя на всѣ однозначныя числа.

 9) Изложенный способъ дѣленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что всѣ промежуточныя вычисленія пишутся выше дѣламаго, поэтому онъ получилъ у нѣмецкихъ математиковъ названіе дѣленія «вверху» — «ueberwärts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе дѣленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже дѣлимаго.

Дѣленіе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го вѣка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое мѣсто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ариѳметикахъ ХТІІ вѣка находимъ такой примѣръ дѣленія: 5692597 : 3625 = 1570 ¹³⁴⁷/₃₆₂₅.

Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же родѣ, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отдѣляется скобкой. 9649378 : 5634.

Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на примѣрѣ 1952 : 32.

«Подобаетъ вѣдати, яко егда дѣлитель имѣетъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа дѣлителя, подъ болшая себе, дѣлимаго сице.

1 9 5 2

 3 2

И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ дѣлителя, емлеши изъ верхнихъ числъ дѣлимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ дѣлителя, изъ тѣхъ же числъ дѣлимаго, якоже здѣ: 1

1 9 5 2 ( 6

 3 2

Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похѣрь сице (вcѣ цифры, кромѣ 3, 2 и 6, перечеркиваются).