Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства средневѣковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ дѣлать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; далѣе ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Примѣръ:

  1 1 1 1

5 3 7 3 9

2 8 2 6 5

—————————

7 1 9 9 4

  8 2 0 0

Вотъ каково недовѣріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.

Въ этомъ родѣ, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ариѳметикѣ въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ замѣчать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель нѣмецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи всѣ числа, которыя стоятъ на первомъ мѣстѣ; если получится отъ сложенія двѣ цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ умѣ, съ тѣмъ, чтобы прибавить ее къ слѣдующей; такъ же поступай и со всѣми остальными. 3-е правило: Въ концѣ ничего не надо держать въ умѣ, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», напримѣръ, три да четыре—семь.

Въ настоящее время способъ сложенія тотъ же, что и въ старину. Правда, мы всегда начинаемъ дѣйствіе съ правой руки, когда вычисляемъ письменно, въ старину же дѣлали и съ лѣвой. Кромѣ того, наши ученики нерѣдко относятоя совершенно сознательно къ дѣйствію и понимаютъ, что и для чего дѣлается. Но въ общемъ характеръ сложенія не измѣнился сь самыхъ тѣхъ поръ, какъ установилась индусская система съ ея нулемъ и значеніемъ цифръ по мѣсту, ими занимаемому.

Нѣкоторыя особенности можно отмѣтить только въ слѣдующихъ трехъ пріемахъ, которые принадлежатъ индусамъ, арабамъ и грекамъ.

Арабскій ученый Алькальцади (XV в.), совѣтуетъ писать сумму надъ слагаемыии, а внизу помѣщать тѣ цифры, которыя мы обыкновенно держимъ въ умѣ. Напримѣръ, дано сложить 48 съ 97-ю. Получится такое вычисленіе:

145

———

 97

 48

  1

Такое записываніе довольно неудобно, потому что при немъ необходимо впередъ приготовить мѣсто для суммы.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ (XIV в.), единственный представитель математическихъ знаній во весь византійскій періодъ греческой исторіи и къ тому же ученый не самостоятельный, а черпавшій свои пріемы изъ арабскихъ источниковъ, предлагаетъ записывать сумму надъ слагаемыми, а не подъ ними, въ остальномъ же его cпособъ сходенъ съ нашимъ.

Индусы, какъ болѣе всего расположенные къ устному счету, вводили въ сложеніе, сравнительно съ другими народами, менѣе механичности и cтарались развивать въ ученикахъ сообразительнооть, быстроту вычисленій и умѣнье упрощать дѣйствія. При многозначныхъ числахъ они писали слагаемыя въ строку и складывали ихъ по разрядамъ. 365+867+992 индусы вычисляли такъ: 5+7+2=14, 6+6+9=21, 3+8+9=20; всего 2224. Такъ идетъ дѣло у индусскаго писателя Баскары (XII в. по Р. X.).

Заканчивая эту главу, упомянемъ еще о терминахъ сложенія, т.-е. о названіи дѣйствія и объ именахъ данныхъ и искомыхъ при немъ чиселъ. Средневѣковая ариѳметика вводила массу терминовъ. Такъ, вмѣсто «сумма», говорилось еще: аггрегатъ, коллектъ, продуктъ. Вмѣсто «сложить», итальянскій ученый Тарталья приводитъ цѣлыхъ 12 терминовъ. Въ старинныхъ русcкихъ ариѳметикахъ слагаемыя назывались перечнями, а сумма — исподнимъ большимъ перечнемъ, очевидно, потому, что принято было писать ее внизу, подъ малыми перечнями.

Вычитаніе цѣлыхъ отвлеченныхъ чиселъ

До настаящаго времени извѣстно всего на всего 5 способовъ письменнаго вычитанія многозначныхъ чиселъ, считая въ томъ числѣ и тотъ, который у насъ общепринятъ теперь. Начнемъ съ него. Мы производимъ письменное отниманіе отъ правой руки къ лѣвой, чтобы удобнѣе было занимать, а это приходится дѣлать всякій разъ, когда какой-нибудь разрядъ вычитаемаго не отнимается отъ разряда уменьшаемаго. Въ противоположноеть этому порядку, арабскій математикъ Бенъ-Муза, жившій при дворѣ халифа Аль-Мамума въ IX в. по Р. X., настаиваетъ на вычитаніи съ высшихъ разрядовъ, т.-е. отъ лѣвой руки къ правой; причины онъ не объясняетъ, а просто говоритъ «такъ полезнѣе и легче». Вовсе не легче, прибавимъ мы отъ себя, потому что, если случается занимать, то нужно бываетъ перетирать цифры. Впрочемъ, весьма возможно, что Бенъ — Муза вычислялъ на пескѣ, на абакѣ, и ему ничего не стоило перемѣнить лишній разъ цифру; но очень неразсчетливо поступаютъ тѣ авторы, которые ведутъ вычисленія на бумагѣ, а правила даютъ такія, какія пригодны толькодля абака: вѣдь на абакѣ все можно стереть и все замѣнить новымъ, а на бумагѣ постоянныя перечеркиванья приводятъ къ путаницѣ, сбивчивости и къ лишнимъ усложненіямъ. Вотъ примѣръ, взятый изъ одного нѣмецкаго сборника XIII вѣка. Дается вычесть 144 изъ 810; отнимаемъ 4 отъ 810, получится 806; при этомъ цифры 1 и 0 мы замѣняемъ цифрами 0 и 6. Далѣе, вычитаемъ 4 десятка изъ 0, надо занять сотню, остатокъ будетъ всего 766; при этомъ цифры 8 и 0 замѣнились другими: 7 и 6. Когда, наконецъ, вычтемъ 100 изъ 766, то получимъ искомый отвѣтъ 666. Такимъ путемъ послѣ трехъ измѣненій цифръ приходимъ мы къ отвѣту 666.

Максимъ Планудесъ, византійскій математикъ XIV вѣка, вычитаетъ точно такъ, какъ мы, но пишетъ всѣ вычисленія гораздо подробнѣе, такъ какъ не надѣется на устный счетъ и приводитъ все дѣло къ механическому записыванію. Если бы потребовалось вычесть 26158 изъ 35142, то по Планудесу мы, во-первыхъ, должны были бы остатокъ записать вверху, надь чертой, точно такъ, какъ и сумму онъ же рекомендуетъ писать вверху надъ слагаемыми:

08984

—————

24031

35142

26158;

во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ дѣйствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вмѣстѣ съ ней 12; 8 изъ 12=4, слѣдовательно, простыхъ единицъ въ отвѣтѣ 4. Вычитая далѣе десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отвѣтъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.

Во всѣхъ разобранныхъ примѣрахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который примѣняется и въ нашемъ настоящемъ способѣ вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать дѣйствіе, и гдѣ записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ умѣ, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое мѣсто во всемъ вычитаніи. Во всѣхъ примѣрахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, чѣмъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ дѣйствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ всѣ предыдущіе примѣры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.