Мы теперь с понятием о математике связываем понятие о вычислениях в самом общем и обширном значении этого слова. В древности ограничивались лишь производством численных вычислений, причем оно входило главным образом лишь в астрономию, в которой было доведено до значительного совершенства, несмотря на неудобства письменной нумерации древних греков.

С XVI в. в Европе зарождается пришедшее от арабов искусство буквенного исчисления и формальная алгебра, которая, постепенно совершенствуясь, к середине XVII в. достигает значительного развития.

4. Здесь приходится упомянуть великого философа и математика Декарта; с одной стороны, он своим афоризмом «Cogito ergo sum» (Мыслю — значит существую) как бы вновь наложил на математику тот отпечаток отвлеченности, который она не только сохранила и доныне, но который особенно усилился за последние 70 лет. С другой стороны, Декарт преобразовал геометрию введением в нее алгебры и ее вычислительных методов, которые были совершенно чужды древним.

В 1670-х годах Ньютон создает «исчисление флюент и флюксий», т. е. текущих количеств, как он его называет. Независимо от него в 1680-х годах это же исчисление находится и опубликовывается философом Лейбницем и называется им «исчисление бесконечно малых».

Ньютон вместе с тем в изданном им в 1686 г. сочинении «Математические начала натуральной философии» развивает и как бы вновь создает динамику, первые начала которой были положены за 50 лет перед тем Галилеем,[76] и доводит эту науку до высокой степени развития чисто геометрическим путем, по образцу древних, и прилагает созданное им учение к установлению системы мира и познанию и приложениям закона тяготения, им открытого, к изучению движения небесных тел.

В течение XVIII в. анализ бесконечно малых доводится до высокой степени совершенства; на его основе развивается теоретическая механика, которая сперва, по примеру Ньютона, прилагается главным образом к изучению движения небесных тел и отчасти к баллистике.

С середины XVIII в. механика начинает прилагаться к решению вопросов технических не только из области статики, которая была создана Архимедом, но и динамики.

С XIX в. технические приложения механики как в области статики, так и динамики все более и более проникают в технику и все более и более ее охватывают.

5. Но и математика не стоит на месте, она продолжает развиваться в разных направлениях, которые можно характеризовать так:

а) развитие вычислительных, в обширном смысле этого слова, процессов;

б) изучение свойств функций, возникающих при вычислениях, установление строгости и строгое обоснование самих вычислительных процессов;

в) общее изучение свойств чисел;

г) изучение свойств пространства и обобщение их;

д) изучение специально алгебраических процессов и свойств алгебраических уравнений;

е) усовершенствование способов численных вычислений, приближенных методов их и приложения этих методов.

Каждая из этих областей разрослась так, что литература по каждой из них в отдельности составляет целую библиотеку из многих сотен, многих тысяч, а иногда и многих десятков тысяч журнальных статей, руководств и трактатов.

Теоретическая механика также разрослась не в меньшей степени; в нее входят:

а) чисто теоретическая или так называемая «рациональная механика»;

б) «небесная механика», т. е. приложение механики к изучению движения небесных тел;

в) так называемая «прикладная механика», т. е. приложение механики к вопросам изучения механизмов и построения их;

г) теория упругости и сопротивления материалов, изучающая вместе с «строительной механикой» свойства материалов, расчеты разного рода конструкций и возникающих в них напряжений;

д) наконец, сюда же надо отнести математическую физику с ее подразделениями, каждое из которых имеет обширные приложения в практике и технике.

Литература по каждому из этих отделов громадна и, можно сказать, практически необозрима.

6. При нашем беглом обзоре развития математики мы обратили внимание на то, что чистый математик, которого мы будем называть геометр, требует от своей науки — математики — прежде всего безукоризненной логичности и строгости суждений.

Одно время в конце XVIII в. математика как бы отчасти сбилась с этого пути, но уже в первой четверти XIX в. была на него вновь неуклонно направлена Гауссом, Абелем и Коши; начиная же с последней четверти XIX в., по почину Вейерштрасса, в математику вновь вводится, можно сказать, «евклидова строгость», а с нею отвлеченность.

Математика сама создает те идеальные образы, над которыми она оперирует, не только не прибегая при этом к наглядности, но тщательно изгоняя из своих рассуждений и доказательств всякую наглядность, всякое свидетельство чувств. Геометр не только не верит своим чувствам, но не признает самого их существования, он есть декартово «мыслящее существо». Геометру нет дела до того, есть ли в природе такие предметы, к которым его образы относятся, для него важно, что он их создал в своем уме, приписал им определения, аксиомы и допущения, после чего он с полною логичностью и строгостью развивает следствия этих аксиом и допущений, не вводя при этом никаких других аксиом и никаких новых допущений, — до остального ему дела нет.

7. Ясно, что практик, техник, каковым и должен быть всякий инженер, смотрит на дело совершенно иначе. Он должен развивать не только свой ум, но и свои чувства так, чтобы они его не обманывали; он должен не только уметь смотреть, но и видеть; он должен уметь не только слушать, но и слышать, не только нюхать, но и чуять; свои же умозаключения он должен сводить не к робкому декартову «мыслю — значит существую», а к твердому, практическому: «я это вижу; слышу, осязаю, чую — значит это так и есть»

Для геометра математика сама по себе есть конечная цель, для инженера — это есть средство, это есть инструмент такой же, как штангель, зубило, ручник, напильник для слесаря или полусаженок, топор и пила для плотника.

Инженер должен по своей специальности уметь владеть своим инструментом, но он вовсе не должен уметь его делать; плотник не должен уметь выковать или наварить топор, но должен уметь отличить хороший топор от плохого; слесарь не должен уметь сам насекать напильник, но должен выбрать тот напильник, который ему надо.

Так вот геометра, который создает новые математические выводы, можно уподобить некоему воображаемому универсальному инструментальщику, который готовит на склад инструмент на всякую потребу; он делает все, начиная от кувалды и кончая тончайшим микроскопом и точнейшим хронометром. Геометр создает методы решения вопросов, не только возникающих вследствие современных надобностей, но и для будущих, которые возникнут, может быть, завтра, может быть, через тысячу лет.

Вообразите же теперь инженера, вошедшего в этот склад и желающего в нем найти нужный ему инструмент. Он прежде всего будет поражен огромным, подавляющим количеством всего накопленного за 2500 лет материала, его изумительным разнообразием. При более внимательном рассмотрении он заметит среди массы других вещей, кажущихся простыми, и некоторые сложнейшие аппараты непонятного ему назначения, но изумительные по отделке их многочисленных деталей, по тщательной их пригонке, да к тому же оправленные в серебро и золото.

Среди аппаратов новейшего изготовления он увидит множество приборов, служащих для самой точной, самой тщательной отделки изделий, т. е. множество разных шаберов и шлифовальных станков. Заметит он и много устарелого, вышедшего из употребления, местами будет попадаться и просто разный хлам.

Но ведь инженер пришел сюда не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами: не золото и серебро ему нужны, а быстрорежущая сталь, ему нужен не столько шабер, сколько грубая обдирка, грубое надежное зубило, ведь не шабером же будет он выбирать шпунт у ахтерштевня. Присмотревшись еще ближе, он среди этого бесчисленного разнообразия заметит ряд, видимо, издавна систематически подобранных ассортиментов, остающихся почти неизменными в течение 150 лет, к тому же кладовщик ему подскажет, что их так часто требуют, что и не напасешься, а за остальными заходят лишь знатоки — мастера и любители.