И всё же время от времени ему приходилось возвращаться к математическим проблемам. Чаще всего не по своей воле, а под давлением внешних обстоятельств. В декабре 1672 года Коллинс сообщил ему, что Рене де Шлюс, математик из Голландии, разработал метод касательных, сходный с Ньютоновым, и собирается опубликовать его в «Философских трудах». Приоритет Ньютона опять был поставлен под угрозу. Получив статью для просмотра, Ньютон тут же вернул её Коллинсу, пояснив, что в ней приводится лишь один частный пример того более общего случая, который он разработал. Вскоре с запросом об этом обратился секретарь Королевского общества Ольденбург, а через него и Шлюс, который хотел подробностей. Ньютон отказался их представить.
Тяжбам учёных семнадцатого столетия способствовала сама научная обстановка того времени — отсутствие или недостаток научных журналов, замена их книгами и письмами. Оба метода имели свои недостатки — писание книг занимало много времени, а переписка имела ограниченный круг читателей. Наука же, особенно математика, активно подталкиваемая практикой, развивалась быстро. Это приводило к переоткрытию уже открытого, а нередко и к плагиату.
Ньютон к тому времени стал уже известным математиком, и к нему обращались со всех концов страны. Королевский землемер Джон Лэйси обратился к нему с просьбой помочь рассчитать площади сложной формы. Коллинс подкинул ему задачку на проценты: «Определить, при какой учётной ставке (N %) сумма В, положенная в банк, через 31 год будет стоить А?»
Ньютон — Коллинсу
18 февраля 1670 года
«Сэр…вот решение задачи о процентах, и, если Вы найдёте его стоящим, можете поместить его в «Философских трудах», только без моей подписи, ибо я не вижу ничего желательного в славе, даже если бы я был способен заслужить её. Это, возможно, увеличило бы число моих знакомых, но это как раз то, чего я больше всего стараюсь избегать…
Много обязанный Вам, Ваш слуга
И. Ньютон.»
Ньютон оказывал большую услугу вычислителям-практикам. Один из них, Джон Смит, по просьбе Коллинса получил разрешение переписываться с Ньютоном. Смит рассчитывал для практических целей таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и других функций для всех целых чисел от единицы до десяти тысяч. Раздавленные тяжестью вычислительной задачи, он просил у Ньютона помощи и совета. Ньютон послал ему объяснение биномиальной теоремы. Смит, понявший, что ему не нужно будет теперь извлекать сотни корней с точностью до 10–11 знаков для каждого числа, был безмерно счастлив благодаря Ньютону. А тот с удовольствием поработал над этой проблемой, увлёкся ею и заложил основы современной теории интерполяций, впоследствии описаной в неконченном мемуаре 1676 года. Он определяет интерполяцию как способ нахождения ординаты кривой между двумя её известными точками.
В самом начале 1673 года в Лондон приехал Годфрид Вильгельм Лейбниц. Этот молодой немецкий дипломат из Майнца с прошлого года жил в Париже, где свёл знакомство с самыми известными учёными и членами Французской академии. Учителем его был сам Христиан Гюйгенс. Лейбниц прибыл в Лондон в январе, а уже в феврале стал членом Королевского общества. После отъезда ему удалось наладить активную переписку как с Ольденбургом, так и с Коллинсом, которые и сообщили ему о важных открытиях Ньютона, в частности, о его методе бесконечных рядов. Лейбниц пока помалкивал о своих успехах и больше спрашивал о чужих. Он понимал, что будущее человека материально не обеспеченного во многом зависит от его научных достижений; он старался не растрачивать раньше времени своего научного капитала. В апреле 1675 года он получил от Коллинса большое письмо с подробными разъяснениями всего сделанного Ньютоном в области бесконечных рядов. Размышляя на эту тему, Лейбниц осенью 1675 года самостоятельно набрёл на методы дифференциального и интегрального исчисления.
Ньютон в то время даже не подозревал о существовании математика Лейбница, не знал о его работах. Не знал он и о том, что содержание его переписки с Коллинсом и кое-что из его работы «De analysi…» были известны Лейбницу. Конечно, если бы Лейбниц работал в другой области, он немного смог бы извлечь из того, что ему было послано. Но он в совершенстве знал проблему, знал конечный результат. Более того, он знал, что задача была решена с помощью бесконечных рядов.
В 1676 году Ольденбургу удалось убедить Ньютона ответить на письма Лейбница. Лейбниц просил Ньютона объяснить, как он получил ряды, выражающие синус угла, если дана дуга, и дугу, когда дан синус. Ньютон направил Лейбницу через Ольденбурга два письма, впоследствии послужившие для него основанием для обвинений Лейбница в плагиате, — знаменитые «Epistola prior» и «Epistola posterior». В письмах содержались выжимки из трудов «De analysi…» и «De methodis…». Он полностью раскрыл биномиальную теорему и дал девять примеров её применения. Ньютон утверждал, что, используя ряды, можно определять площади, объёмы, центры тяжести и т. д. Он писал, что знает алгоритм того, что мы назвали бы теперь дифференцированием и интегрированием, но не дал его описания.
Ньютон — Ольденбургу
«Из всего этого можно видеть, насколько эти бесконечные уравнения расширяют границы анализа; с их помощью можно совладать практически с любыми задачами, кроме численных задач Диофанта и подобных им. И всё же даже все эти результаты, вместе взятые, не являются универсальными, пока не используются некоторые усовершенствованные методы использования бесконечных рядов… Но как действовать в этих случаях, сейчас нет времени объяснять…»
Лейбниц не мог скрыть своего восхищения.
Лейбниц — Ольденбургу
26 июля 1676 года
«Ваше письмо содержит более ценные идеи по анализу, чем множество толстых томов, которые опубликованы по этим вопросам… Открытие Ньютона стоит его гения, который так ярко заявил о себе в его оптических экспериментах и в его катодиоптрической трубе.»
Однако, продолжал Лейбниц, он и сам знает кое-что о бесконечных рядах и может предложить свой метод преобразований, в связи с чем он хотел бы задать Ньютону несколько вопросов.
Лейбниц поспешил в Лондон и пробыл там десять октябрьских дней по пути в Ганновер, где он получил место при дворе герцога Брауншвейг-Люнебургского. Единственное, что удалось ему, — это встретиться с Коллинсом, который, будучи довольно слабым математиком, не смог поддержать перед Лейбницем престижа своей страны. Чтобы как-то скрасить явно слабое впечатление, которое он произвёл на Лейбница, Коллинс показал ему свои архивы, в том числе полный текст «De analysi» и письмо Ньютона о его методе касательных.
Заметки, сделанные Лейбницем при этом посещении — их раскопали историки, — указывают на его большой интерес к рядам и полное отсутствие интереса к тем местам в письмах Ньютона и в «De analysi», которые имели прямое отношение к дифференциальному и интегральному исчислению. Создаётся впечатление, что они его не заинтересовали лишь потому, что он их уже энал.
Коллинс не рассказал Ньютону об этом посещении. Лейбниц тоже старался не упоминать о том, что́ он видел у Коллинса. Коллинс, чувствуя некоторую вину, настаивал, чтобы Ньютон поскорее опубликовал свои труды. А Ньютон, занятый бесконечной перепиской и дискуссиями по проблеме цветов, не хотел ввязываться в новое дело. Не зная ничего о визите Лейбница, он через неделю после того, как Лейбниц отбыл в Ганновер, написал «Epistola posterior», которое Викинс старательно переписал перед посылкой в Лондон. В письме Ньютон подробно раскрывал, как он пришёл к биномиальной теореме, а также сообщал о многих своих неоконченных математических проектах. Он снова и снова возвращается к методу флюксий, снова и снова говорит о бесконечных рядах. Метод флюксий он так и не раскрывает, описывая его лишь в анаграмме. Он намекает на то, что метод, которым он обладает и который описан в работе «De analysi…», содержит метод касательных, позволяющий находить максимум и минимум функций.
Ньютон — Ольденбургу