Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x зависит от поведения функции f (x ) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x функция f (x ) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x — 0) и f (x + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x , то он сходится к значению 1 /2 {f (x — 0) + f (x + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x ) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x ).
Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров , 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (—p, p) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x ) сумма Фейера
при n ® ¥ равномерно сходятся к f (x ) (Л. Фейер , 1904).
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965.
Фурье Франсуа Мари Шарль
Фурье' (Fourier) Франсуа Мари Шарль (7.4.1772, Безансон, — 10.10.1837, Париж), французский утопический социалист. Родился в купеческой семье, почти всю жизнь служил в торговых домах. Окончил среднюю школу, затем пополнял знания путём самообразования. На мировоззрении Ф. отразилось его глубокое разочарование в результатах Великой французской революции.
Свои исторические и социальные взгляды Ф. впервые изложил в статье «Всемирная гармония» (1803), анонимной брошюре «О торговом шарлатанстве» (1807) и книге «Теория четырех движений и всеобщих судеб» (1808, рус. пер. 1938). Подробный план организации общества будущего Ф. разработал в «Трактате о домоводческо-земледельческой ассоциации» (т. 1—2, 1822), переизданном посмертно в 1-м французском собрании сочинений, т. 2—5, 1841—43, под заглавием «Теория всемирного единства» и в книге «Новый хозяйственный социетарный мир» (1829, рус. пер, 1939).
Ф. отвергал социальную философию и экономические учения Просвещения , считая, что они противоречат опыту и оправдывают негодный общественный строй. Вместе с тем Ф. воспринял и развил ряд идей материалистов 18 в.: признание единства мироздания как извечно существующей и закономерно движущейся материи во всём многообразии её форм и видов движения; определение исторического процесса как движения, направленного на обеспечение всеобщего благополучия, и др. Задачу своей жизни Ф. видел в разработке «социальной науки» как части «теории всемирного единства», основанной на принципе «притяжения по страсти», всеобщей закономерности, обусловливающей природную склонность человека к какому-либо виду коллективного труда. Ф. разработал оригинальную схему истории человечества. Общество последовательно проходит периоды эдемизма («райской» первобытности), дикости, варварства и цивилизации. Особое внимание Ф. уделил анализу и критике современного периода («периода цивилизации»); он вскрыл его внутренние противоречия (кризисы от избытка, бедность, порождаемую изобилием, и др.). На смену строю цивилизации, по Ф., должен прийти высший общественный строй — строй гармонии, который не только соответствует предначертаниям бога-природы, но представляется как историческая необходимость.
В системе Ф. сохранялись частная собственность, классы и нетрудовой доход. Для успеха нового общества, считал Ф., необходим рост производительности труда, обеспечивающий богатство для всех, для чего общественный доход должен распределяться соответственно: капиталу (4 /12 ), труду (5 /12 ) и таланту 3 /12 ). С укреплением и развитием строя ассоциации эти пропорции, как предполагал Ф., будут изменяться в пользу труда. Строй ассоциации создаёт, по Ф., крупное коллективизированное и механизированное сельское хозяйство, соединённое с промышленным производством. Это соединение произойдёт в первичных ячейках общества — «фалангах», располагающихся в огромных дворцах — «фаланстерах». Такая организация общества приведёт к ликвидации разрыва между городом и деревней, к созданию поселений нового типа, где объединятся все виды человеческой деятельности и преимущества городской и сельской жизни.
Согласно Ф., естественные страсти человека, подавляемые и искажаемые при строе цивилизации, будут направлены на творческий труд, полный разнообразия и радостного соревнования. Разумно организованные могучие трудовые армии — региональные, национальные и международные — преобразуют лик Земли. В новых условиях общественной жизни будет формироваться и новый человек как целостная, всесторонне развитая личность.
В учении Ф. было немало идей и концепций, которые позднее получили развитие не только в философии, социологии и экономической науке, но и в таких специальных отраслях, как социальная психология, психология труда, педагогика. Для учения Ф. характерны элементы материализма и диалектики. Вместе с тем его учению свойственны идеалистическое понимание истории, методологическая непоследовательность, беспочвенные мечтания. Мировоззрение Ф. несёт на себе отпечаток мелкобуржуазности: идеальный «строй гармонии» был далёк от экономических требований крупного общественного производства.
По определению К. Маркса и Ф. Энгельса, «Фурье исходит непосредственно из учения французских материалистов» (Соч., 2 изд., т. 2, с. 146) и «... так же мастерски владеет диалектикой, как и его современник Гегель» (Энгельс Ф., там же, т. 19, с. 197). Маркс и Энгельс, указывая, что Ф. блестяще разработал ряд проблем будущего общества, вместе с тем критиковали его за отказ от классовой, революционной и всякой вообще политической борьбы, за сохранение в строе ассоциации основных элементов капиталистических общественных отношений, надежду на содействие лучших представителей господствующих классов делу разумного переустройства общества. Маркс и Энгельс признавали Ф. наряду с К. А. Сен-Симоном и Р. Оуэном одним из тех мыслителей, которые «... гениально предвосхитили бесчисленное множество таких истин, правильность которых мы доказываем теперь научно...» (Энгельс Ф., там же, т. 18, с. 499).
Учение Ф. оказало значительное влияние на социальную и философскую мысль ряда стран. Во Франции учение Ф. развивали «социетарная школа» В. Консидерана и группа др. фурьеристов. Фурьеристы пытались создать опытный фаланстер и «социальную партию», но на практике неизменно оказывались бессильными и потерпели крах в ходе Революции 1848. Идеи Ф. получили отражение во французской художественной литературе (Э. Сю, Ф. Пиа, П. Ж. Беранже, Э. Потье и др.) и оказали воздействие на развитие французского утопического социализма (К. Пеккёр, Ф. Видаль, П. А. Леру, П. Ж. Прудон). В 30—40-х гг. влияние идей Ф. испытала ранняя социалистическая мысль в Англии (Хью Дохерти и др.), Германии (В. Вейтлинг, М. Гесс и др.), Италии (Б. Дж. Муре, С. Савини), Испании, где фурьеристы были также первыми проводниками социалистических идей (Х. С. Абреу и др.), и в др. странах Европы. В Северной Америке влияние Ф. на развитие прогрессивных социальных идей было столь значительным, что 30—40-е гг. 19 в. называют «фурьеристским периодом» истории социализма в Америке (А. Брисбен, П. Годвин, Х. Грили и др.). Было создано более 40 фурьеристских колоний (Брукфарм и др.).