Равенство (1) можно также представить в виде

 

,..., (2)

, …,

  где

 – среднее (гидростатическое) напряжение, К – модуль всестороннего сжатия.

  Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

 

 (3)

 ...............................................................

  Из входящих сюда 36 коэффициентов c_ij называются модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала.

  Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо m входит коэффициент

, а соотношение  заменяется равенством , где величина e_u называется интенсивностью деформации, а функции Ф и f , универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф (e_u ) достигает некоторого критического значения, возникают пластические деформации. Законы пластичности при пропорциональном возрастании нагрузок или напряжений (простое нагружение) имеют тот же вид, но с др. значениями функций Ф и f (законы теории малых упруго-пластических деформаций), а при уменьшении напряжений (разгрузке) имеют место соотношения (1) или (2), в которых вместо s_ij и e_ij подставляются их приращения (разности двух текущих значений).

  Математическая задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты u _x , u _y , и _z ; вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат x , у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия:

 

,

, (4)

  где r – плотность материала, XYZ – проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (например, силы тяжести), отнесённые к массе этой частицы.

  К трём уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида:

 

, …, , …, (5)

  устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.

  Когда на часть S ₁ граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (например, силы контактного взаимодействия), проекции которых, отнесённые к единице площади, равны F _x , F _y , F _z , а для части S ₂ этой поверхности заданы перемещения её точек j_х , j_у , j_z , граничные условия имеют вид:

 

 (на S ₁ ) (6)

 

, ,  (на S ₂ ) (7)

  где l ₁ , l ₂ , l ₃ – косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S ₁ трём равенствам (6), а вторые – что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S ₂ равенствам (7); в частном случае может быть j_x = j_y = j_z = 0 (часть поверхности S ₂ жестко закреплена). Например, в задаче о равновесии плотины массовая сила – сила тяжести, поверхность S ₂ подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S ₁ действуют силы: напор воды, давление различных надстроек, транспортных средств и т.д.

  В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу У. т., решение которой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для некоторых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конического тела и др. Т. к. уравнения У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности, если для какого-нибудь тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в какой-либо произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения, называются Грина функциями , получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и некоторые др.). Предложен ряд аналитических методов решения пространственной задачи У. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова – Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т. – одна из наиболее актуальных проблем У. т.

  При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения многих практически важных задач на основе некоторых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам специфический интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость упругих систем ).

  В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения температуры. При математической постановке этой задачи в правую часть первых трёх уравнений (1) добавляется член

, где a – коэффициент линейного теплового расширения, T (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) – заданное поле температуры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости подвергаемых облучению тел.

  Большой практических интерес представляют задачи У. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэффициент l, m в уравнении (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, которое иногда задают статистически (в виде некоторых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистические методы У. т., отражающие статистическую природу свойств поликристаллических тел.