Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а — гипотенуза, b, с — катеты) формулы С. т. упрощаются, например:
sin b = sin a sin В, (1')
cos a = cos b cos c, (2')
sin a cos B = cos b sin c. (3')
Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)
или, после преобразования,
cos а = cos b cos с (формула 2').
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-108992150.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-108992150.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-150815488.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-150815488.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-148702282.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-148702282.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-150331014.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-150331014.png)
При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-124338943.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-124338943.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-131285861.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-131285861.png)
или более точные формулы:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-158748917.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-158748917.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-158647292.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-158647292.png)
С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')—(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (21)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (31)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 — начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 — начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 — начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i010-001-267268550.jpg](https://litlife.club/books/106253/read/images/i010-001-267268550.jpg)
Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.
Сферические координаты
Сфери'ческие координа'ты точки М, три числа r, q, j, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О (рис.) проводятся три взаимно оси Ox, Оу, Oz. Число r равно расстоянию от точки О до точки М, q представляет собой угол между вектором
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-170913384.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-170913384.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-102271943.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-102271943.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-131884045.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-131884045.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-142945266.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-142945266.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-166196482.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-166196482.png)
С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях к физике и технике.
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i009-001-240744990.jpg](https://litlife.club/books/106253/read/images/i009-001-240744990.jpg)
Рис. к ст. Сферические координаты.
Сферические функции
Сфери'ческие фу'нкции, специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-115322498.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-115322498.png)
получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-168163194.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-168163194.png)
где am — постоянные,
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-110951709.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-110951709.png)
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-136492987.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-136492987.png)
где Рп — Лежандра многочлены.
С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-114108866.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-114108866.png)
образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e imj} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С. ф.:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-113227896.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-113227896.png)
С. ф. степени l
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-195014615.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-195014615.png)
при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:
(q–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q–1). Коэффициенты
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-161308274.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-161308274.png)
С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:
![Большая Советская Энциклопедия (СФ) i-images-142559101.png](https://litlife.club/books/106253/read/images/i-images-142559101.png)