Если Р. (1) и Р.

сходятся, то сходится и Р.

,

называемый суммой рядов (1) и (6), причем его сумма равна сумме данных Р. Если Р.(1) сходится и l — комплексное число, то Р.

,

называемый произведением Р. на число l, также сходится и

.

  Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер n_e, что при любом n ³ n_e и любом целом р ³ 0 выполнялось неравенство

.

  Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то

  Обратное неверно: n-й член так называемого гармонического ряда

стремится к нулю, однако этот Р. расходится.

  Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то

,

поэтому в этом случае пишут

.

Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.

  Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.

     (7)

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

.

С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.

     (8)

сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

  Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ u_n  £ c u_n, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n ^a. Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом

,

где

сходится, поскольку сходится Р.

.

  Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р. сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом u_n = sin (1/n ²) сходится, ибо

 (a = 2)

a Р. с u_n = tg (p/n) расходится, здесь

  (a = 1)

  Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует

 (u_n > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует   (u_n ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.

  Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.

.

  Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.

абсолютно сходится, а Р.

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть

     (9)

— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u_mu_n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s₁ и s₂, то s = s₁s₂, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

  Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.

.

Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:

,

то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если

, ,

то знакочередующийся Р.

     (10)

сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде

.     (11)

Признак Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а Р.

сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {a_n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.

ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.