f (x ) = {[(a x + a ₁ )х + а ₂ ]х + ...}х + а _n

и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

  Графическое решение уравнения f (x ) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f (x ) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox , которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j₁ (x ) = j₂ (x ) и вычертить кривые y = j₁ (x ) и y = j₂ (x ). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x ).

  Так, для решения уравнения третьей степени z ³ + az ² + bz + c = 0 его приводят к виду x ³ + px + q = 0 заменой z = х — а /3, затем уравнение представляют в виде x ³ = —px — q и вычерчивают кривую у = х ³ и прямую у =—px — q . Точки их пересечения определяют корни x ₁ , x ₂ , x ₃ уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х ³ остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x ³ — 2,67x — 1 = 0. Его корни x ₁ = —1,40, x ₂ = — 0,40, x ₃ = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z ⁴ + az ³ + bz ² + cz + d = 0. Подстановкой z = x — a /4 его приводят к виду x ⁴ + px ³ + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х ² , (х – х )² + (у — у )² = r ² , вводя переменное y . Здесь x = —q /2, у = (1 – р )/2 и

 Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе — окружность радиуса г , координаты центра x , y которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x ⁴ — 2,6x ² — 0,8х — 0,6 = 0 (для него x = 0,4; y = 1,8, r = 2). Его корни x ₁ = — 1,55, x ₂ = 1,80. Как видно из рис. , уравнение др. действительных корней не имеет.

  Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла

 основано на замене графика подинтегральной функции y = f (x ) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb , площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу , на ряд полос — элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox , так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.  Dx _k — длина основания k- гo прямоугольника, y _k — одно из значений функции у = f (x ) на отрезке Dx _k , равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла  Сумму  вычисляют графически так, как уже было указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла  где функция y = f (x ) задана графиком AC ...C ₄ B . После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A ₁ , ..., A₄ , построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C , ..., C ₄ , снесены на ось Оу . Полученные точки P , ..., P ₄ соединены с точкой Р (OP = 1). Затем, начиная от точки а , построена ломаная aB ₁ ... B ₅ , звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP , PP ₁ , ..., PP ₄ . Величина интеграла численно равна ординате точки B ₅ . Для построения графика первообразной функции y = f (x ), т. е.  достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении  (на рис. 7 точки B , B ₁ , ..., B ₅ ).

  Графическое дифференцирование . График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7 . Для этого график функции (рис. 8 ) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Dx. Через точки деления A ₁ , A ₂ , ... проводят отрезки AB ₁ , A ₂ B ₂ , …, параллельные оси Ox . Отрезки B ₁ A₁ , B ₂ A ₂ , ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox . По полученным точкам

 строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.

  Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого порядка dy /dx = f (x , у ) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).

  Лит.: Головинин Д. Н., Графическая математика, М. — Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. — Л., 1932.