Гармоники (музык.)

Гармо'ники , в Древней Греции последователи музыкально-теоретического учения Аристоксена.

Гармоники (физич.)

Гармо'ники , тоны, возникающие от колебания частей звучащего тела; см. Обертоны .

Гармониум

Гармо'ниум , музыкальный инструмент, см. Фисгармония .

Гармоническая пропорция

Гармони'ческая пропо'рция , пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним:

  а: b = b: (a — b ).

  Разложение числа а на два слагаемых b и a —b , образующих Г. п., называется гармоническим делением, или золотым сечением , а также делением в крайнем и среднем отношении.

Гармонические колебания

Гармони'ческие колеба'ния , колебания , при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой — синусоидой или косинусоидой (см. рис. ); они могут быть записаны в форме: х = Asin (wt + j) или х = Acos (wt + j) , где х — значение колеблющейся величины в данный момент времени t (для механических Г. к., например, смещение или скорость, для электрических Г. к. — напряжение или сила тока), А — амплитуда колебаний, w — угловая частота колебаний, (w + j ) — фаза колебаний, j — начальная фаза колебаний.

  Г. к. занимают среди всех разнообразных форм колебаний важное место, оно определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, в природе и в технике очень часто встречаются колебательные процессы, по форме близкие к Г. к. Во-вторых, очень широкий класс систем, свойства которых можно считать неизменными (например, электрические цепи, у которых индуктивность, ёмкость и сопротивление не зависят от напряжения и силы тока в цепи), по отношению к Г. к. ведут себя особым образом: при воздействии на них Г. к. совершаемые ими вынужденные колебания имеют также форму Г. к. (когда форма внешнего воздействия отличается от Г. к., форма вынужденного колебания системы всегда отличается от формы внешнего воздействия). Иначе говоря, в большинстве случаев Г. к. единственный тип колебаний, форма которых не искажается при воспроизведении; это и определяет особое значение Г. к., а также возможность представления негармонических колебаний в виде гармонического спектра колебаний.

  Лит.: Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Лансберга, 3 изд., т. 3, М., 1962; Хайкин С. Э., Физические основы механики, М., 1963.

Рис. к ст. Гармонические колебания.

Гармонические функции

Гармони'ческие фу'нкции , функции от n переменных (n ³ 2), непрерывные в некоторой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа

 

  Во многих вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, например, потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрического поля в области, не содержащей электрических зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.

  Наиболее важны для приложения к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, например, оси z , причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z ), соответствующие Г. ф. от трёх переменных превращаются в Г. ф. от двух переменных х и у . Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциями f (x) от комплексного переменного x = х + iy . А именно каждая Г. ф. от х и у есть действительная или мнимая часть некоторой функции f (x) , и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитической функции суть Г. ф. от x и у . Например, х² —у² и 2ху , будучи действительной и мнимой частями функции x² = х² —у² + 2ixy , суть Г. ф. Важнейшими задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в которых требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г. ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на который она натянута). Такова также задача Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (например, определение температуры внутри тела по заданному на поверхности градиенту температуры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).

  Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы, имеющие большое теоретическое значение. Например, для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. советских математиков. Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.

  Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, «Успехи математических наук», 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.—Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961.

  А. И. Маркушевич.