Индивидныезнаки обозначают индивидов соответствующей области объектов; они принадлежат к нулевому уровню. Их свойства и отношения, а также предикаты, при помощи которых они обозначаются, принадлежат к первому уровню. Атрибут (т.е. свойство или отношение), приписываемое чему-либо на уровне n, и предикат, его обозначающий, принадлежит уровню n + 1. Предикат степени I (называемый также одноместным предикатом) обозначает свойство; предикат степени n (n–местный предикат) обозначает n–адическое отношение, т.е. отношение, которое имеет место между n членов.

Определение имеет форму «. . . = Df – – -»; это означает: «”. . .” должно быть взаимозаменимо с “– – -”». Иногда вместо « = Df » испольхуется « ( » для предложений или « = » для других выражений. «. . .» называется дефениендумом, «– – -» – дефиниенсом.

Классификация предложений.

Атомарные предложения суть те, которые не содержат ни связок, ни переменных (например, «R(а, b)», «b = с»);

молекулярное предложение – это предложение, которое не содержит переменных, но состоит из атомарных предложений (именуемых его компонентами) и связки (например, «(Р(а)», «А ( В»);

общее предложение – это предложение, которое содержит переменные (например, «((х)Р(х)»).

В предложении формы «(х) (...)» или «((х) (...)» или в выражении формы «((х) (... х ...)», «(х)», «((х)» и «((х)» называются операторами(operator) (общности, существования и ламбда-оператором, соответственно); «...» называется операндой(operand), относящейся к оператору. Переменная, стоящая в определенном месте в выражении, называется связанной(bound), если она стоит на этом месте в операторе или в операнде, оператор которой содержит ту же самую переменную; в противном случае она называется свободной(free). Выражение называется открытым(open), если оно содержит свободную переменную; в противном случае оно называется замкнутым (closed). (Класс предложений называется замкнутым, если все его предложения являются замкнутыми; это понятие надо отличать от понятия класса, замкнутого в известном отношении). Открытое выражение будет именоваться также выразительнойфункцией (expressional function); и, более того, выразительной функцией степени n, если множество входящих в него в качестве свободных различных переменных равно n. Выразительная функция такая, что она или закрытые выражения, построенные из нее путем замещения, являются предложениями, называется сентенциальнойфункцией (sententional function).

Карнап указывает далее, что из знаков, обозначающих сущности, мы сперва строим атомарныепредложения, а из этих последних при помощи связок, в свою очередь, – молекулярныепредложения, генерализации, теории и т.д. Число предложений в подобных семантических системах бесконечно. Так обстоит дело практически со всеми семантическими системами, с которыми нам приходится иметь дело, и в особенности в естественными языками. Связки обычно вводятся при помощи таблицистинности(truth-tables). Обычные таблицы истинности представляют собой не что иное, как семантические правила истинности в форме диаграмм. Их функция заключается в том, чтобы давать строгие определения логических связок «и», «или» и т.д. Истинность атомарных предложений обусловлена тем, объединяются ли в действительности «сущности» таким же путем, как и знаки в соответствующем предложении, а истинность других, производных предложений зависит исключительно от истинностных значений входящих в них атомарных предложений и характера связи между ними.

Семантическая система. Под семантическойсистемой (или интерпретированной системой) Карнап понимает такого рода систему правил, сформулированную на метаязыке и относящуюся к объектному языку, что правила определяют условияистинности для каждого предложения объектного языка, т. е. достаточные и необходимые условия его истинности. Предложения интерпретируются с помощью правил и тем самым становятся понятными, так как понять предложение, знать, что им утверждается, – то же самое, что и знать, при каких условиях оно было бы истинным. Сформулируем это иначе: правила определяют значение предложений. Истинность и ложность называются истинностнымизначениями предложений. Знания условий истинности предложения в большинстве случаев недостаточно для знания его истинностного значения, однако оно представляет собой исходную точку для поиска истинностного значения предложения. Например, Пьер говорит: «Mon crayon est noir» (A1). Зная французский язык, мы понимаем предложение A1 лишь формально, переводя его словами: «Мой карандаш черен». Дело в том, что мы можем понимать предложение, не зная в то же самое время его истинностногозначения. Наше понимание A1 заключается в данном случае в знании его условия истинности; мы знаем, что A1 истинно тогда и только тогда, когда определенный объект, карандаш Пьера, имеет определенный цвет, а именно черный. Это знание условия истинности A1 дает нам знать, что мы должны делать для того, чтобы определить истинностное значение A1, т.е. для того, чтобы установить, является ли A1 истинным или ложным.

Каким образом можно определить условия истинности для предложений какой-либо системы? Здесь возможны два основных варианта.

Если система содержит конечное число предложений, то мы можем дать исчерпывающий список условий истинности – по одному на каждое предложение. Так обстоит дело, например, с обыкновенным телеграфным кодом. Код переводит каждое предложение по отдельности и тем самым интерпретирует его. Такие примитивные семантические системы, содержащие конечное число предложений, Карнап называет кодовыми.

Если же система содержит бесконечное число предложений, то условия истинности могут быть заданы только формулированием общих правил. Такие системы Карнап называет языковыми.

В то время как кодовая система перечисляет условия истинности по отдельности для каждого предложения, языковая система дает общие правила для выражений, входящих в предложения, причем таким способом, что условие истинности для каждого предложения определяется правилами для выражений, из которых предложение состоит. Как подчеркивает Карнап, в случае с языковой системой, состоящей из бесконечного числа предложений, возможна только вторая форма задания условий истинности, а именно с помощью общих правил, поскольку мы не можем сформулировать бесконечное число правил для каждого отдельного предложения.

Например, мы строим семантическую систему S1, выбирая для этого семь знаков: три индивидные переменные, А1, А2, А3, два предиката – В1 и В2 и знаки скобок “(“ и “)”. Предложениями системы S1 являются выражения формы В(А). Условия истинности задаются по отдельности для каждого предложения при помощи следующих правил:

1. В1 (А1) истинно, если и только если Чикаго большой город.

2. В1 (А2) истинно, если и только если Нью-Йорк большой город.

3. В1 (А3) истинно, если и только если Кэрмел большой город.

4. В2 (А1) истинно, если и только если Чикаго имеет гавань.

5. В2 (А2) истинно, если и только если Нью-Йорк имеет гавань.

6. В2 (А3) истинно, если и только если Кэрмел имеет гавань.

На основании системы S1 строится система S2, которая представляет собой обобщение первой; построение осуществляется за счет формулировки пяти частных правил обозначения, каждое из которых выделяет десигнат одного из пяти основных знаков, и одного общего правила для условий истинности предложений:

1. А1 обозначает Чикаго.

2. А2 обозначает Нью-Йорк.

3. А3 обозначает Кэрмел.

4. В1 обозначает свойство быть большим городом.

5. В2 обозначает свойство иметь гавань.

6. Предложение Вi (Аj) истинно тогда и только тогда, когда десигнат Аj имеет десигнат Вi (т.е. тогда, когда объект, обозначенный Аj, имеет свойство, обозначенное Вi).