В этом случае

При взлете L₁ = 1, поэтому

На орбите поэтому

Примечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться соотношением, связывающим величины скоростей в апогее и перигее эллиптической орбиты:

где V_ап., V_пер. — соответственно скорости движения в апогее и перигее (в задаче V₂, V₁);

L_ап, L_пер., — расстояния апогея и перигея от центра Земли (в задаче L₂, L₁).

Это соотношение непосредственно вытекает из закона сохранения момента количества движения.

Так как L_ап = L₂ = 6,6; L_пер = 1 и V_пер.= V₁ = 10,4 км/сек, то

Точно так же в предыдущей задаче

4. Какова будет скорость советской искусственной планеты в ее движении вокруг Солнца?

По предварительным сведениям, опубликованным в советской печати, наибольшее расстояние новой планеты от Солнца будет равно 197,2 миллиона километров, а наименьшее — 146,4 миллиона километров. Следовательно, большая ось орбиты будет равна 343,6 миллиона километров.

Но тогда и максимальная скорость планеты (в перигелии):

а минимальная скорость (в афелии):

При движении по эллипсу вокруг Солнца продолжительность полного обращения может быть определена с помощью третьего закона Кеплера, по которому квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (то есть кубы больших полуосей эллиптических орбит):

где Т — продолжительность одного обращения;

а — большая полуось эллиптической орбиты.

Проще всего производить сравнение с периодом обращения Земли, равным, как известно, одному году, или 365 суткам. Тогда

где Т — в сутках, а — в астрономических единицах.

При движении вокруг Земли период обращения можно сравнивать с периодом обращения кругового спутника у самой поверхности, то есть на высоте Н = О. Этот период равен, как указывалось выше, 5070 секундам.

Поэтому

где Т — в секундах,

а — в радиусах земного шара.

1. Какова продолжительность полета корабля с Земли до Меркурия по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

Период обращения по наивыгоднейшему эллипсу

Продолжительность полета

2. Какова продолжительность полета грузовой ракеты с Земли до суточной орбиты по касательному полуэллипсу (сопротивлением воздуха и активным участком траектории пренебрегаем)?

Продолжительность полета

= 18 800 секунд, или ≈5,2 часа.

3. Какова продолжительность полета на Луну по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

В этом случае поэтому Т = 5070 · 30,6^3/2 ≈ 860 000 секунд, или около 240 часов.

Продолжительность полета

≈ 120 часов (5 суток).

4. Какова величина больших полуосей орбит советских искусственных спутников?

В начале движения периоды обращения советских искусственных спутников равнялись:

первого спутника

второго спутника

третьего спутника

По формуле Т = 5070 ^3/2 находим:

Истинные величины больших полуосей отличаются от приведенных выше приближенных, которые даны лишь в качестве иллюстрации.

5. Каков период обращения советской искусственной планеты, запущенной 2 января 1959 года?

Так как для этого случая а =1,145 (см. выше), то

что соответствует данным, опубликованным в советской печати.

Для определения эллиптической орбиты, помимо величины большой полуоси, необходимо знать еще один из элементов орбиты — малую полуось b, полуфокусное расстояние с или эксцентриситет е. Эти величины связаны следующими соотношениями:

полуфокусное расстояние

эксцентриситет

Для искусственных спутников Земли очевидны также следующие соотношения:

средняя высота спутника над Землей

или где H_ап. — высота апогея орбиты;

H_пер.— высота перигея орбиты;

полуфокусное расстояние орбиты

1. Определить элементы орбит советских искусственных спутников Земли по известным высотам апогея и перигея.

В соответствии с опубликованными данными примем следующие округленные значения для высот апогея и перигея советских искусственных спутников Земли:

H_пер. = 225 км (для всех трех спутников);[146]

H_ап.1 = 950 км, H_ап.2 = 1670 км, H_ап.3 = 1880 км.

Тогда средние высоты спутников над Землей будут равны:

для первого спутника H_ср1 =

для второго спутника H_ср2 =