Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:

(Т — так называемый сидерический, или звездный, период обращения).

Но вследствие чего

Подстановка значений R и g₀ дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:

Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения — удалить тело в бесконечность.

Величина скорости отрыва V_отр. определяется тем, что кинетическая энергия тела должна в этом случае в точности равняться работе преодоления поля тяготения; с помощью высшей математики получаем:

то есть работа полного преодоления поля земного тяготения равна работе поднятия тела при постоянном ускорении силы тяжести, равном его значению у земной поверхности g₀, на высоту земного радиуса R.

Так как √g₀R есть круговая скорость, то скорость отрыва V_отp. в 1,41 раза больше круговой скорости:

Примеры движения по кругу или по параболе, о которых шла речь выше, являются лишь частными случаями движения тела в поле тяготения небесного тела большой массы. Как известно из небесной механики, в общем случае орбитой такого движения является одна из кривых второго порядка (так называемых конических сечений): круг, эллипс, парабола или гипербола. Общий закон этого движения дается следующей формулой (так называемое уравнение живых сил, упрощенное для случая космического корабля, то есть тела небольшой массы):

или где V — скорость движения тела массы пренебрежимо малой по сравнению с М;

М — масса небесного тела;

f — гравитационная постоянная;

L — расстояние до центра тяжести небесного тела;

а — большая полуось орбиты;

g₀ — ускорение силы тяжести на поверхности небесного тела на расстоянии R₀ от его центра.

Как видно из формул, характер орбиты зависит лишь от величины, но не направления скорости V. Различные типы орбит соответствуют следующим частным случаям:

а) а = ∞,

орбита — парабола;

б) а > ◯, V < V_параб., орбита — эллипс;

в) L = а, V = V_круг =

частный случай эллиптической орбиты — круговая;

г) а < ◯, V>V_параб., орбита — гипербола (V _гиперб.).

По какой орбите будет двигаться космический корабль, летящий на расстоянии 100 000 км от центра Земли со скоростью 5 км/сек?

По формуле откуда a ≈ — 24 000;

так как а < ◯, то V = V_гиперб., орбита — гипербола.

Наиболее важными для астронавтики являются эллиптические орбиты, по которым будут двигаться не только все новые искусственные спутники Земли, но чаще всего и космические корабли. Полет по гиперболической орбите — дело более отдаленного будущего (советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 года, летела в поле земного тяготения по гиперболе, а вокруг Солнца движется по эллипсу).

Формулы расчета эллиптических орбит могут быть получены из приведенного выше уравнения живых сил путем упрощений;

для движения вокруг Солнца:

где V — в км/сек,

L,a — в астрономических единицах (1 а. е. — расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150·10⁶ км);

для движения вокруг Земли:

где V — в км/сек,

L, а — в радиусах земного шара.

1. Какова должна быть скорость корабля при взлете с Земли для того, чтобы он смог совершить полет на Меркурий по наивыгоднейшей, то есть касательной, эллиптической орбите?

В этом случае

и

Так как круговая скорость Земли равна 29,8 км/сек, то, очевидно, кораблю при взлете нужно сообщить скорость против направления движения Земли по орбите, равную 29,8 — 22,3 = 7,5 км/сек.

2. Какова будет скорость корабля в упомянутой выше задаче на орбите Меркурия?

В этом случае L₂=0,387 а. е., а = 0,6935 а. е., вследствие чего

Так как круговая скорость Меркурия равна 47,9 км/сек (это можно проверить и так — она равна круговой скорости Земли, деленной на √0,387, то есть то корабль будет двигаться быстрее Меркурия на величину 57,5 — 47,9 = 9,6 км/сек.

3. Какова должна быть взлетная скорость ракеты, доставляющей о Земли груз на искусственный спутник, находящийся на суточной орбите (высота 35 800 км), если сопротивление воздуха не учитывать? Какова будет скорость этой ракеты на орбите спутника?