x = 5 + d, y = 5 − d (5 + d)2 + (5 − d)2 = 68 50 + 2d2 = 68 d = 3, x = 8, y = 2
Діофантъ занимался также неопредѣленными уравненіями первой и второй степени, но ему не удалось найти полнаго ихъ рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ; это сдѣлали уже Эйлеръ, нѣмецкій математикъ 18 в., и французскій математикъ Лагранжъ (1736—1813).
Индусы называли неизвѣстныя величины, которыя мы теперь обозначаемъ черезъ х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали ихъ первыми буквами тѣхъ словъ, которыя выражаютъ эти цвѣта. Индусскіе математики 6—12 в по Р. X. знакомы были, правда, съ греческой ариѳметикой и алгеброй, но они далеко опередили грековъ. Они знали ирраціональныя числа, знали, что всякій квадратный корень имѣетъ два значенія: положительное и отрицательное, и дошли до мнимыхъ величинъ. Баскара (въ 12 в.) принялся за кубическія уравненія, и вотъ его примѣръ:
x4 + 48x = 12x2 + 72
вычтемъ по
12x2 + 64 = 12x2 + 64
————————————————————————
x3 − 12x2 + 48x − 64 = 8
(x − 4)3 = 23
x − 4 = 2
x = 6
Вплоть до 18 вѣка индусскіе математики являлись учителями европейскихъ математиковъ и образцами для нихъ, и лишь Лагранжу и Эйлеру удалось двинуть науку далѣе и превзойти индусовъ.
Арабскіе ученые переняли отъ индусовъ начала алгебры и перенесли въ Европу, гдѣ ею занялись главнымъ образомъ итальянцы.
Лука-де-Бурго (въ 15 ст.) перешелъ къ уравненіямъ 4-й степени и рѣшалъ тѣ изъ нихъ, которыя приводятся къ квадратнымъ. Тарталья и Карданъ (въ 16 ст.) объяснили рѣшеніе кубическихъ уравненій, притомъ всякихъ безъ исключенія, а Людовикъ Феррари далъ общую формулу рѣшенія уравненій 4-й степени.
Віета (1540—1603) положилъ начало общей ариѳметикѣ тѣмъ, что сталъ обозначать буквами не только искомыя количества, но и данныя; до него же буквами обозначались только тѣ количества, которыя требавалось опредѣлить; по способу Віета извѣстныя величины въ уравненіяхъ обозначались согласными буквами латинскаго алфавита, а неизвѣстныя—гласными.
За Віетой слѣдовалъ англичанинъ Гарріотъ (1560—1621). Онъ нашелъ, что всякое уравненіе высшихъ степеней является произведеніемъ уравненій низшихъ степеней, что между коэффиціентами и корнями уравненія есть опредѣленная зависимость; онъ ввелъ знакъ неравенства и предложилъ писать буквенныхъ множителей рядомъ, безъ всякаго знака; но коэффиціентъ онъ отдѣляетъ отъ буквы точкой и степени обозначаетъ повтореніемъ количества, т. е. вмѣсто a3 пишетъ aaa. Французъ Декартъ (1596—1650) положилъ начало аналитической геометріи и ввелъ нынѣшнюю форму цѣлыхъ степеней. Голландецъ Жираръ ввелъ скобки, Исаакъ Ньютонъ (1642—1727) — дробныя степени и биномъ, шотландецъ Непиръ (въ 17 ст.) — логариѳмы съ натуральнымъ или гиперболическимъ основаніемъ е=2,7182818...
Вскорѣ послѣ него англійскій профессоръ Бриггь (ум. въ 1630) вычислилъ логариѳмы при основаніи 10. Такимъ образомъ, получается 7 дѣйствій общей ариѳметики: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корня, логариѳмированіе; иные присоединяютъ еще восьмое дѣйствіе—нахожденіе числа по логариѳму. Теорія чиселъ, т. е. ученіе о свойствахъ чиселъ, была извѣстна въ нѣкоторой степени еще древнимъ грекамъ. Особенное развитіе она получила въ новѣйшее время.
Источники по исторіи ариѳметики.
Большая часть трудовъ по исторіи ариѳметики принадлежитъ нѣмецкой литературѣ: нѣмецкая ученость особенно занимается этими вопросами. Мы для своей работы воспользовалнсь слѣдующими источниками:
1. M. Sterner. Geschichte der Rechenkunst;. 1891. стр. 533. Это самая лучшая книжка въ своемъ родѣ, мы ее порекомендовали бы всякому, кто хочетъ узнать исторію ариѳметики; она очень доступна, обстоятельна и недорога, изложеніе въ ней чисто-литературное.
2. W. Adam. Geschichte des Rechens und des Rechenunterrichts. Zum Gebrauch an gehobenen und höheren Lehranstalten, sowie auch bei der Vorberitung auf die Mittelschullehrer und Rektoratsprüfung. 1892. стр. 182. Составлена по программѣ, изданной для учителей среднихъ учебныхъ заведеній; какъ видно, въ Германіи требуется отъ учителей не только знать науку, но и обладать свѣдѣніями по ея исторіи. Книжка Адама невелика, конспективна; хотя она и написана простымъ языкомъ, но изложеніе въ ней суховато: много перечисленій и мало обобщеній.
3. M. Kantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Zweite Auflage. 1894. Стран. 883+863. Громадная работа по исторіи математики; считается чрезвычайно авторитетйымъ источникомъ, изъ котораго черпаютъ всѣ остальные авторы. Канторъ — общепризнанный спеціалистъ по своему предмету.
Изложеніе у него доступное, хотя, по самому характеру книги, содержитъ много подробностей и тонкихъ изслѣдованій. Цѣна не дешевая — болѣе 25 руб.
4. H. Hankel. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. 1874. Страницъ 410. Рядъ хорошихъ очерковъ по исторіи математики.
5. G. Freidlein. Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Römer und des christlichen Abendlandes vom 7 bis 13 Jahrhundert. 1869. Стр. 164. Для своихъ отдѣловъ эта книжка хороша; правда, она написана нѣсколько спеціально, съ цитатами и мелкими подробностями, но въ общемъ она доступна.
6. P. Treutlein. Das Rechen im 16 Jahrhundert. 1877. Стр. 100. Хорошая картина 16-го вѣка, того самаго вѣка, когда стали обрисовываться основы нашей ариѳметики.
7. F. Unger. Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart. 1888. Стр. 240. Работа Унгера неудобна для того, кто желалъ бы начать съ нея знакомство съ исторіей ариѳметики. Унгеръ слишкомъ гоняется за подлинными выписками, даже такими, которыя не представляютъ большого интереса, и слишкомъ окрашиваетъ свои очерки въ колоритъ спеціально нѣмецкой школы. У него много замѣчаній относительно методики, однако и ихъ гораздо интереснѣе читать по Штернеру.
Изъ французскихъ авторовъ мы могли воспользоваться:
8. G. Libri. Historie des sciences mathématiques en Italie, depuis la reneaissance des lettres jusq'à la findudix-septième siécle. 1835-1865. Стр. 456+530+444+492. Это довольно старая книжка, и въ ней трудно найти что-нибудь новое, сравнительно съ тѣми пособіями, какія перечислены выше.
На русскомъ языкѣ пользуются извѣстностью труды профессора Московскаго университета В. В. Бобынина, который съ 1883 года читаетъ лекціи по этому предмету. Мы въ особенности обязаны свѣдѣніями слѣдующимъ интереснымъ очеркамъ:
9. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи. ХVІІ столѣтіе. 1886 г. Стр. 123.
10. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи донаучнаго періода развитія ариѳметики. 1896 г. Стр. 48.
11. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи развитія математическихъ наукъ на Западѣ. 1896 г. Стр. 30+129.
Послѣ выхода въ свѣтъ I изданія, авторъ познакомился еще съ такими трудами:
12. Boyer. Historie des mathématiques.
13. Зутеръ. Исторія математическихъ наукъ. СПБ. 1905. Цѣна 1 р. Перев. съ нѣмецкаго П. Федорова.