Значение М. т. Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

  Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классических частях математики. Например, в области математического анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.

  Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики или таких её больших отделов, как геометрия . Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математическая теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана.

  Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см. Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств , Логика , Конструктивная математика , Континуум ).

  Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.

  П. С. Александров.

Множественные процессы

Мно'жественные проце'ссы, рождение большого числа вторичных сильно взаимодействующих частиц (адронов ) в одном акте столкновения частиц при высокой энергии. М. п. характерны для столкновения адронов, однако в редких случаях они наблюдаются и при столкновениях других частиц, если их энергия достаточна для рождения нескольких адронов (например, при электронных столкновениях на ускорителях со встречными пучками). При столкновениях адронов с энергией выше нескольких Гэв М. п. доминируют над процессами одиночного рождения мезонов и упругого рассеяния частиц. Впервые М. п. наблюдались в космических лучах , однако тщательное их изучение стало возможным после создания ускорителей заряженных частиц высоких энергий. В результате исследований взаимодействия частиц космических лучей с энергией до 10⁶ —10⁷ Гэв в лабораторной системе координат, а также частиц от ускорителей с энергией до ~ 10³ Гэв (встречные пучки) выявлены некоторые эмпирические закономерности М. п.

  С наибольшей вероятностью в М. п. рождаются самые лёгкие адроны — nи-мезоны , составляющие 70—80 % вторичных частиц. Значительную долю составляют также К-мезоны и гипероны (~ 10—20 %) и нуклон-антинуклонные пары (порядка нескольких процентов). Многие из этих частиц возникают от распада рождающихся резонансов .

  Вероятность столкновения, сопровождаемого М. п. (эффективное сечение М. п.), при высоких энергиях почти не зависит от энергии сталкивающихся частиц (меняется не более чем на несколько десятков процентов при изменении энергии столкновения в 10⁴ раз). Приблизительное постоянство сечения М. п. привело к модели «чёрных шариков» для описания процессов столкновения адронов. Согласно этой модели, при каждом сближении адронов высокой энергии на расстояния, меньшие радиуса действия ядерных сил, происходит неупругий процесс множественного рождения частиц; упругое рассеяние при этом носит в основном дифракционный характер (дифракция волн де Бройля частиц на «чёрном шарике»). Эта модель сыграла важную роль в развитии теории сильных взаимодействий (в частности, в установлении теоремы Померанчука о равенстве эффективных сечений взаимодействия частиц и античастиц при предельно высоких энергиях). С другой стороны, согласно квантовой теории поля, возможен медленный рост сечения М. п. с увеличением энергии Е , не быстрее, чем ln² Е (теорема Фруассара).

  Число частиц, рождающихся в различных актах столкновения адронов определённой энергии, сильно варьирует и в отдельных случаях оказывается очень большим (рис. 1 ). Среднее число вторичных частиц (средняя множественность) медленно растет с ростом энергии столкновения Е и практически не зависит от типа сталкивающихся адронов (рис. 2 ). При существующей точности измерений зависимость от энергии одинаково хорошо описывается как логарифмической, так и степенной (типа E^v ; v < 1 ) функцией от энергии, что затрудняет выбор между различными теоретическими моделями М. п., предсказывающими разные типы этой зависимости. Средняя множественность много меньше максимально возможного числа вторичных частиц, которое определяется условием, что вся энергия столкновения в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц переходит в массу покоя вторичных частиц. Так, при столкновении протонов с энергией 70 Гэв (от Серпуховского ускорителя) с протонами мишени могло бы рождаться до 70 p-мезонов, в действительности же средняя множественность заряженных частиц при этой энергии составляет 5—6 частиц. Это означает, что на создание массы покоя вторичных частиц идёт только небольшая часть энергии столкновения, т. е. энергия тратится главным образом на сообщение овной части генерированных частиц большой кинетической энергии (большого импульса). В то же время характерной эмпирической закономерностью М. п. является то, что поперечные (к оси соударения) компоненты р _^ импульсов вторичных частиц, как правило, малы. Среднее значение р _^ ; составляет приблизительно 0,3—0,4 Гэв/с и почти постоянно в очень широкой области энергий. Поэтому вторичные частицы вылетают резко направленными и сужающимися по мере роста энергии потоками вдоль направления движения сталкивающихся частиц (в с. ц. и. — вперёд и назад, в лабораторной системе — по направлению движения налетающей частицы).

  Изучение М. п. очень существенно для выяснения структуры адронов и построения теории сильных взаимодействий. В этом отношении особое значение имеют закономерности, установленные при изучении специального класса М. п. — т. н. инклюзивных процессов, когда из большого числа М. п., происходящих при столкновениях адронов «а» и «b», отбираются события с рождением определённой частицы «с» независимо от того, какие др. частицы (X) и в каком количестве сопровождают рождение частицы «с». На важность изучения инклюзивных процессов указал в 1967 А. А. Логунов , установивший на основе квантовой теории поля предельные законы возрастания их сечения с ростом энергии (аналогичные теореме Фруассара). При экспериментальном исследовании инклюзивных процессов на Серпуховском ускорителе (1968) и сравнении полученных данных с результатами опытов при более низких энергиях был обнаружен своеобразный закон подобия в микромире — т. н. масштабная инвариантность, или скейлинг (scaling). Масштабная инвариантность состоит в том, что вероятность рождения «инклюзивной» частицы «с» с определённым значением продольного импульса p_L , (проекции импульса на направление движения сталкивающихся частиц) является при разных энергиях столкновения универсальной функцией от переменной Х = p _L /p _макс , где р _макс — максимально возможное (при данной энергии) значение продольного импульса частицы «с» (рис. 3 ). Т. о., продольные импульсы вторичных частиц растут пропорционально энергии столкновения. Указания на существование такого рода зависимости получались ранее при изучении космических лучей. Она вытекала из того факта, что энергетический спектр вторичной компоненты космических лучей почти точно повторяет форму энергетического спектра первичной компоненты (Г. Т. Зацепин и др.). Масштабная инвариантность имеет глубокий физический смысл. Объяснение её на основе модельных представлений о составном строении адронов было предложено в 1969 Р. Фейнманом . (В 1963 на возможность такой закономерности указывал американский физик К. Уилсон.)