И. Ньютон, впервые высказавший общее определение числа как отношения двух значений какой-либо величины, всё ещё избегал, однако, записывать найденные им законы в виде формул, выражающих значение одной из величин через значения других, неоднородных с ней, и предпочитал придавать такого рода соотношениям форму пропорций. Например, у₁/у₂ = x²/x² вместо соответствующей формулы

  Современная точка зрения, согласно которой все буквы в формулах означают просто числа и действия производятся над числами, равноправными между собой, независимо от их конкретного происхождения, ещё и сейчас в элементарном преподавании иногда осознаётся не в достаточной степени (это сказывается в наименованиях при записи действий, в избыточной осторожности при определении производных физ. величин и т.п.).

  Аксиоматическое построение арифметики. Начало следующего этапа — аксиоматических построение А. — относится уже к 19 в. и связано с общим процессом критического пересмотра логических основ математики, в котором важнейшую роль сыграли, в частности, работы Н. И. Лобачевского по геометрии. Самая простота и очевидная бесспорность начальных положений А. затрудняли выделение основных положений — аксиом и определений, которые могли бы служить исходным пунктом построения теории. Первые намёки на возможность такого построения имеются уже в доказательстве соотношения 2 ´ 2= 4, данном Г. Лейбницем (см. ниже).

  Лишь в сер. 19 в. Г. Грасману удалось выбрать систему основных аксиом, определяющих действия сложения и умножения так, чтобы остальные положения А. вытекали из неё как логическое следствие. Если иметь в виду натуральный ряд чисел, начиная от 1, и определить 2 как 1+1, 3 как 2+1, 4 как 3+1 и т.д., то одного общего положения а +(b + 1) = (а + b)+ 1, принимаемого в качестве аксиомы или определения сложения, оказывается достаточно для того, чтобы не только вывести формулы частного типа, как, например, 3+2 = 5, но, пользуясь методом математической индукции, доказать и общие свойства сложения, верные для любых натуральных чисел, — переместительный и сочетательный законы. Подобную же роль для умножения играют формулы а·1 = а и а (b + 1) = ab + а. Так, упомянутое выше доказательство соотношения 2·2 = 4 можно представить в виде цепочки равенств, вытекающей из приведённых здесь формул и определения чисел 2, 3 и 4, именно: 2·2 = 2(1 + 1) = 2·1 + 2·1 = 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

  После доказательства переместительного (см. Коммутативность), сочетательного (см. Ассоциативность) и распределительного (см. Дистрибутивность) (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметических действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений. Если оставаться на том же уровне абстракции, то дробные числа приходится вводить как пары целых чисел (числитель и знаменатель), подчинённые определённым законам сравнения и действий (см. Дробь).

  Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано, в которых отчётливо выделена система основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда (за который можно принять 0 или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, которые можно рассматривать как аксиоматическое определение указанных основных понятий.

  Аксиомы Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома — аксиома полной индукции — даёт возможность в дальнейшем пользоваться грасмановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.

  Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логической структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, которые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в практической жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами методологического анализа математических дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логической схемы, то А. как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.

  Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем. т. 3 изд., т. 1, М.—Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о ней, 3 изд., М., 1960; Дептяан И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967.

  И. В. Арнольд.

Арифметическая прогрессия

Арифмети'ческая прогре'ссия, последовательность чисел (a₁, a₂, ..., a_n), из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (например, 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d > 0, то А. п. называется возрастающей, если d < 0, — убывающей. Общий член А. п. выражается формулой a_n = a₁ + d (n - 1); сумма первых n членов S_n = ¹/₂(a₁ + a_n)n.

Арифметический треугольник

Арифмети'ческий треуго'льник, треугольник Паскаля, треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов (см. Ньютона бином). По бокам А. т. стоят единицы, внутри — суммы двух верхних чисел.

  В (n + 1)-й строке А. т. — биномиальные коэффициенты для разложения бинома (а + b)ⁿ. А. т. приведён в книге Б. Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665).

  Лит.: Успенский В. А., Треугольник Паскаля, М., 1966.

Рис. к статье Арифметический треугольник.